設(shè)圓C與兩圓(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一個內(nèi)切,另一個外切.
(1)求C的圓心軌跡L的方程;
(2)已知點M(,),F(xiàn)(,0),且P為L上動點,求||MP|-|FP||的最大值及此時點P的坐標(biāo).
(1)-y2=1
(2)(,-)
(1)依題意得兩圓的圓心分別為F1(-,0),F(xiàn)2(,0),從而可得|CF1|+2=|CF2|-2或|CF2|+2=|CF1|-2,
所以||CF2|-|CF1||=4=2a<|F1F2|=2=2c,
所以圓心C的軌跡是以原點為中心,焦點在x軸上,且實軸長為4,焦距為2的雙曲線,
因此a=2,c=,b2=c2-a2=1,
故C的圓心軌跡L的方程為-y2=1.
(2)過點M,F(xiàn)的直線l的方程為y=-2(x-),將其代入-y2=1中,解得x1,x2,故直線l與L的交點為T1(,-),T2(),
因為T1在線段MF外,T2在線段MF上,
所以||MT1|-|FT1||=|MF|=2,||MT2|-|FT2||<|MF|=2.
若點P不在MF上,則||MP|-|FP||<|MF|=2.
綜上所述,||MP|-|FP||只在點T1處取得最大值,
即||MP|-|FP||的最大值為2,
此時點P的坐標(biāo)為(,-).
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(3)觀察以上計算結(jié)果,你能看出隨∠F1MF2的變化,△F1MF2的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結(jié)論.

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x2
a2
+
y2
5
=1(a
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5
)
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