Question

已知函數(shù)。
(1)若的單調(diào)減區(qū)間是,求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)a、b是函數(shù)的兩個極值點，a<b，。求證：對任意的，不等式成立．

Answer 1

(1) (2)  (3)略

試題分析：(1)由題得，以及的單調(diào)減區(qū)間,解得 ;
(2)函數(shù)在區(qū)間上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同,轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題．
(3)由 
又∵有兩個不相等的正跟a,b且a<b, ,得 , 即在上單調(diào)遞減,

設(shè), 求得 再利用單調(diào)性即可．
(1) 由題得,
要使的單調(diào)減區(qū)間是則,解得 ;           (2分)
另一方面當(dāng)時,
由解得,即的單調(diào)減區(qū)間是．
綜上所述．                  (4分)
(2), 函數(shù)在區(qū)間上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同,
∴, ∴            (6分)
∵,又
∴                    (8分)
(3)∵ 
又∵有兩個不相等的正跟a,b且a<b, ,∴ 
∴當(dāng)時, , 即在上單調(diào)遞減,∴    (10分)
則對任意的,

設(shè), 則 
當(dāng)時, ∴在上單增, ∴, ∴也在上單增,  (12分)
∴
∴不等式對任意的成立．           (14分)