【題目】如圖（1），邊長(zhǎng)為的正方形中，，分別為、上的點(diǎn)，且，現(xiàn)沿把剪切、拼接成如圖（2）的圖形，再將，，沿，，折起，使、、三點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖（3）.

（1）求證：；

（2）求二面角最小時(shí)的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）利用圖形翻折的幾何關(guān)系可得出，，然后由直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可得出平面，由此可證明出；

（2）以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，，可得出，求出平面和平面的法向量，然后利用空間向量法結(jié)合基本不等式可求出二面角最小時(shí)的余弦值.

（1）折疊前，，折疊后，，

又，所以平面，因此；

（2）由（1）及題意知，因此以為原點(diǎn)，、、分別

為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

令，，，所以，，

設(shè)平面法向量為

則所以，令，則

又平面法向量為，

設(shè)二面角的大小為，所以，

又，

當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以.

所以二面角最小時(shí)的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某籃球教練對(duì)甲乙兩位運(yùn)動(dòng)員在近五場(chǎng)比賽中的得分情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示，根據(jù)圖表給出如下結(jié)論:(1)甲乙兩人得分的平均數(shù)相等且甲的方差比乙的方差小；(2)甲乙兩人得分的平均數(shù)相等且甲的方差比乙的方差大；(3)甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣�，而乙的成�?jī)無(wú)明顯提高；(4)甲的成績(jī)較穩(wěn)定,乙的成續(xù)基本呈上升狀態(tài)；結(jié)論正確的是( )

A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）D.（2）（4）

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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，坐標(biāo)原點(diǎn)恰為的重心，求直線(xiàn)的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）在曲線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P可作三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切？若存在，求出其橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校組織了垃圾分類(lèi)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．設(shè)置了四個(gè)箱子，分別寫(xiě)有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫(xiě)有一種垃圾的名稱(chēng)．每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取張，按照自己的判斷，將每張卡片放入對(duì)應(yīng)的箱子中．按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯(cuò)誤得分．比如將寫(xiě)有“廢電池”的卡片放入寫(xiě)有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分．從所有參賽選手中隨機(jī)抽取人，將他們的得分按照，，，，分組，繪成頻率分布直方圖如圖：

（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；

（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機(jī)選取名選手，以表示這名選手中得分不超過(guò)分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3） 如果某選手將抽到的20張卡片逐一隨機(jī)放入四個(gè)箱子，能否認(rèn)為該選手不會(huì)得到100分？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間.

(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】由于工作需要，某公司準(zhǔn)備一次性購(gòu)買(mǎi)兩臺(tái)具有智能打印、掃描、復(fù)印等多種功能的智能激光型打印機(jī).針對(duì)購(gòu)買(mǎi)后未來(lái)五年內(nèi)的售后，廠(chǎng)家提供如下兩種方案：

方案一：一次性繳納元，在未來(lái)五年內(nèi)，可免費(fèi)上門(mén)維修次，超過(guò)次后每次收取費(fèi)用元；

方案二：一次性繳納元，在未來(lái)五年內(nèi)，可免費(fèi)上門(mén)維修次，超過(guò)次后每次收取費(fèi)用元.

該公司搜集并整理了臺(tái)這款打印機(jī)使用五年的維修次數(shù)，所得數(shù)據(jù)如下表所示：

維修次數(shù)

臺(tái)數(shù)

以這臺(tái)打印機(jī)使用五年的維修次數(shù)的頻率代替臺(tái)打印機(jī)使用五年的維修次數(shù)的概率，記表示這兩臺(tái)智能打印機(jī)五年內(nèi)共需維修的次數(shù).

（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）以?xún)煞N方案產(chǎn)生的維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，寫(xiě)出你的選擇，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商貿(mào)公司售賣(mài)某種水果.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研可知:在未來(lái)天內(nèi),這種水果每箱的銷(xiāo)售利潤(rùn)(單位:元)與時(shí)間,單位:天)之間的函數(shù)關(guān)系式為, 且日銷(xiāo)售量 (單位:箱)與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為

①第天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為__________元;

②在未來(lái)的這天中,公司決定每銷(xiāo)售箱該水果就捐贈(zèng)元給 “精準(zhǔn)扶貧”對(duì)象.為保證銷(xiāo)售積極性,要求捐贈(zèng)之后每天的利潤(rùn)隨時(shí)間的增大而增大,則的最小值是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)和．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若在上有解，求的最小值；

（3）記，，是否存在正數(shù)，使得對(duì)一切均成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

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