【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程．

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅲ）設(shè)，其中，證明：函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，所以，又可得在處的切線方程（Ⅱ）令，解出，令，解出，可得的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ） ， 在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且極大值， 極小值可得在無零點(diǎn)，在有一個(gè)零點(diǎn)，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

試題解析：（Ⅰ）∵， ，

∴． ，

∴在處切線為，即為．

（Ⅱ）令，解出，令，解出．

∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（Ⅲ） ，

．

令，解出或，令，解出．

∴在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

極大值， 極小值，

∵在時(shí)， 極大值小于零，

在時(shí)， 極小值小于零．在， 單調(diào)遞增，說明在無零點(diǎn)，在有一個(gè)零點(diǎn)，∴有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)．

⑴求橢圓的方程；

⑵若在橢圓上有相異的兩點(diǎn)（三點(diǎn)不共線），為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線，直線，直線的斜率滿足.

（ⅰ）求證： 是定值；

（ⅱ）設(shè)的面積為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)是定義為R的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有且當(dāng)時(shí)， ，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰好有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 （ ）

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法中正確的是

A. 先把高三年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào)：1到2000，再從編號(hào)為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號(hào)為，然后抽取編號(hào)為的學(xué)生，這樣的抽樣方法是分層抽樣法

B. 線性回歸直線不一定過樣本中心點(diǎn)

C. 若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1

D. 若一組數(shù)據(jù)1、、3的平均數(shù)是2，則該組數(shù)據(jù)的方差是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是梯形， ， ， ， ，側(cè)面底面.

（1）求證：平面平面；

（2）若，且三棱錐的體積為，求側(cè)面的面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列命題：

① “若，則有實(shí)根”的逆否命題為真命題；

②命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是；

③命題“，使得”的否定是真命題；

④命題函數(shù)為偶函數(shù)，命題函數(shù)在上為增函數(shù)，

則為真命題.

其中，正確的命題是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB＝PA＝BC(a＞0)．

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求證：BD⊥PC；

(2)若BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，求此時(shí)二面角A－PD－Q的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x(ln x－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)

A. (－∞，0) B.

C. (0,1) D. (0，＋∞)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得在上的最大值為,若存在，求滿足條件的a的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案