Question

【題目】在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB＝PA＝BC(a＞0)．

(1)當a＝1時，求證：BD⊥PC；

(2)若BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD，求此時二面角A－PD－Q的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由已知得PA⊥BD，ABCD是正方形，BD⊥AC，由此能證明BD⊥PC．（2）AB，AD，AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標系，利用向量法求出平面PQD的法向量及平面PAD的法向量即可求出二面角A-PD-Q的余弦值．

試題解析：

(1)當a＝1時，底面ABCD為正方形，∴BD⊥AC，

又∵BD⊥PA，∴BD⊥面PAC，又PC面PAC，∴BD⊥PC.

(2)∵AB，AD，AP兩兩垂直，∴分別以為它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．

令AB＝1，可得BC＝a，則B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，P(0,0,1)．

設BQ＝m，則Q(1，m,0)(0≤m≤a)，

要使PQ⊥QD，只要·＝－1＋m(a－m)＝0，

即m2－am＋1＝0，由Δ＝a2－4＝0a＝2，此時m＝1.

∴BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD，

此時，Q為BC的中點，且a＝2，設平面PQD的法向量p＝(x，y,1)，

則即

解得p＝(，，1)，

取平面PAD的法向量q＝(1,0,0)，

∴cos<p，q>＝＝，

即二面角A－PD－Q的余弦值為.