【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;

(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅲ)設(shè)函數(shù).若對于任意,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1) ;(2)當(dāng)時,函數(shù)的增區(qū)間為, ,減區(qū)間為;

當(dāng)時,函數(shù)的增區(qū)間為, ,減區(qū)間為

當(dāng)時,函數(shù)的增區(qū)間為,無減區(qū)間;(3).

【解析】試題分析:(Ⅰ) 求出,可得切線斜率,根據(jù)點斜式可得切線方程;(Ⅱ)討論三種情況,分別令得增區(qū)間, 得減區(qū)間; (Ⅲ)對于任意,都有成立等價于恒成立,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出其最大值,進而可得結(jié)果.

試題解析:(函數(shù)的定義域為.

當(dāng)時, ,

,

所以曲線在點處的切線方程為.

(Ⅱ)因為

,即,解得.

(1)當(dāng),即時,

,得

,得.

所以函數(shù)的增區(qū)間為 ,減區(qū)間為.

(2)當(dāng),即時,

,得;

,得.

所以函數(shù)的增區(qū)間為, ,減區(qū)間為.

(3)當(dāng),即時, 上恒成立,

所以函數(shù)的增區(qū)間為,無減區(qū)間.

綜上所述:

當(dāng)時,函數(shù)的增區(qū)間為 ,減區(qū)間為

當(dāng)時,函數(shù)的增區(qū)間為 ,減區(qū)間為

當(dāng)時,函數(shù)的增區(qū)間為,無減區(qū)間.

(Ⅲ)因為對于任意,都有成立,

,等價于.

,則當(dāng)時, .

.

因為當(dāng)時, ,所以上單調(diào)遞增.

所以.

所以.

所以.

【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問題,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出處的導(dǎo)數(shù),即在點 出的切線斜率(當(dāng)曲線處的切線與軸平行時,在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點斜式求得切線方程.

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(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

箱產(chǎn)量<50kg

箱產(chǎn)量≥50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).

附:,

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年份

2011

2012

2013

2014

2015

2016

年宣傳費(萬元)

38

48

58

68

78

88

年銷售量(噸)

168

188

207

224

240

255

經(jīng)電腦模擬,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(萬元)與年銷售量(噸)之間近似滿足關(guān)系式。對上述數(shù)據(jù)作了初步處理,得到相關(guān)的值如下表:

753

246

183

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