已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅲ)求證:(,e是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅱ)實數(shù)a的取值范圍是;(Ⅲ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即判斷在各個區(qū)間上的符號,只需對求導(dǎo)即可;(Ⅱ)當(dāng)時,不等式恒成立,即恒成立,令 (),只需求出最大值,讓最大值小于等于零即可,可利用導(dǎo)數(shù)求最值,從而求出的取值范圍;(Ⅲ)要證(成立,即證,即證,由(Ⅱ)可知當(dāng)時,在上恒成立,又因為,從而證出.
試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時,(),(),
由解得,由解得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;
(Ⅱ)因當(dāng)時,不等式恒成立,即恒成立,設(shè) (),只需即可.由,
(。┊(dāng)時,,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故 成立;
(ⅱ)當(dāng)時,由,因,所以,①若,即時,在區(qū)間上,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,在 上無最大值(或:當(dāng)時,),此時不滿足條件;②若,即時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,同樣 在上無最大值,不滿足條件 ;
(ⅲ)當(dāng)時,由,∵,∴,
∴,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,故成立.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是.
(Ⅲ)據(jù)(Ⅱ)知當(dāng)時,
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求在最小值;
(2)若存在單調(diào)遞減區(qū)間,求的取值范圍;
(3)求證:().
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中.
(1)若時,記存在使
成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若在上存在最大值和最小值,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是的一個極值點.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),試問過點可作多少條直線與曲線相切?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為,求實數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分16分)如圖,某自來水公司要在公路兩側(cè)排水管,公路為東西方向,在路北側(cè)沿直線排,在路南側(cè)沿直線排,現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)沿直線將與接通.已知,,公路兩側(cè)排管費(fèi)用為每米1萬元,穿過公路的部分的排管費(fèi)用為每米2萬元,設(shè)與所成的小于的角為.
(Ⅰ)求矩形區(qū)域內(nèi)的排管費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求排管的最小費(fèi)用及相應(yīng)的角.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知常數(shù)、、都是實數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,的解集為.
(Ⅰ)若的極大值等于,求的極小值;
(Ⅱ)設(shè)不等式的解集為集合,當(dāng)時,函數(shù)只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(I)若在處取得極值,
①求、的值;②存在,使得不等式成立,求的最小值;
(II)當(dāng)時,若在上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.(參考數(shù)據(jù))
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com