【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),證明函數(shù)是增函數(shù);

2)是否存在實(shí)數(shù),使得只有唯一的正數(shù),當(dāng)時(shí)恒有:,若這樣的實(shí)數(shù)存在,試求、的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)詳見(jiàn)解析;(2)存在實(shí)數(shù),只有唯一值滿足題意.

【解析】

1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出,可得出,從而證明出函數(shù)是增函數(shù);

2)取得出,由可得出,構(gòu)造函數(shù),由得出,然后分兩種情況討論,結(jié)合結(jié)合已知條件得出的值.

1.

,則,

因此,函數(shù)為增函數(shù),,

,因此,函數(shù)是增函數(shù);

2)取,可知.

.

,

由于.

①當(dāng)時(shí),

時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),

時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),

,因此存在唯一的正數(shù),使得,

故只能.

,,

時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),

時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),

,此時(shí)只有唯一值.

②當(dāng)時(shí),,則函數(shù)為增函數(shù),

,解得,故.

i給定時(shí),滿足不唯一;

ii時(shí),滿足只能.

時(shí)滿足,因此時(shí),值也不唯一.

綜上,存在實(shí)數(shù),只有唯一值,當(dāng)時(shí),恒有:.

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A. B. C. D.

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