【題目】已知函數.
(1)求在區(qū)間上的最大值;
(2)若過點存在3條直線與曲線相切,求的取值范圍;
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求,令,求出極值點,極值和區(qū)間端點的函數值,即求最大值;
(2)設出切點,寫出切線方程,把點的坐標代入切線方程,得.設,則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同的零點”.求,判斷的單調性,即可求解.
(1)由得.
令,得或.
因為,
所以在區(qū)間上的最大值為.
(2)設過點的直線與曲線相切于點,
則,且切線斜率為,
所以切線方程為,
因此,
整理得.
設,
則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同的零點”.
.
當變化時,與的變化情況如下:
0 | 1 | ||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
所以,是的極大值,
是的極小值.
當,即時,
在區(qū)間和上分別至多有1個零點,
以至多有2個零點.
當,即時,
在區(qū)間和上分別至多有1個零點,
所以至多有2個零點.
當且,即時,
因為,
所以分別在區(qū)間和上恰有1個零點.
由于在區(qū)間和上單調,
所以分別在區(qū)間和上恰有1個零點.
綜上可知,當過點存在3條直線與曲線相切時,的取值范圍是.
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【題目】已知函數.
(1)當時,證明函數是增函數;
(2)是否存在實數,使得只有唯一的正數,當時恒有:,若這樣的實數存在,試求、的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】某儀器經過檢驗合格才能出廠,初檢合格率為:若初檢不合格,則需要進行調試,經調試后再次對其進行檢驗;若仍不合格,作為廢品處理,再檢合格率為.每臺儀器各項費用如表:
項目 | 生產成本 | 檢驗費/次 | 調試費 | 出廠價 |
金額(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每臺儀器能出廠的概率;
(Ⅱ)求生產一臺儀器所獲得的利潤為1600元的概率(注:利潤出廠價生產成本檢驗費調試費);
(Ⅲ)假設每臺儀器是否合格相互獨立,記為生產兩臺儀器所獲得的利潤,求的分布列和數學期望.
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【題目】已知直線:(為參數),曲線:(為參數).
(1)設與相交于兩點,求;
(2)若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍,縱坐標壓縮為原來的倍,得到曲線,設點P是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最大值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求的方程;
(2)是否存在直線與相交于兩點,且滿足:①與(為坐標原點)的斜率之和為2;②直線與圓相切,若存在,求出的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數,k∈R.
(I)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(II)當k>0時,若函數f(x)在區(qū)間(1,2)內單調遞減,求k的取值范圍.
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【題目】“干支紀年法”是中國歷法上自古以來使用的紀年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”!疤旄伞币浴凹住弊珠_始,“地支”以“子”字開始,兩者按干支順序相配,組成了干支紀年法,其相配順序為:甲子、乙丑、丙寅…癸酉,甲戌、乙亥、丙子…癸末,甲申、乙酉、丙戌…癸巳,…,共得到個組成,周而復始,循環(huán)記錄。2014年是“干支紀年法”中的甲午年,那么2020年是“干支紀年法”中的()
A. 己亥年 B. 戊戌年 C. 庚子年 D. 辛丑年
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