Question

12、設(shè)平面上n個(gè)圓周最多把平面分成f（n）片（平面區(qū)域），則f（2）=

4

，f（n）=

n²-n+2

．（n≥1，n是自然數(shù)）

Answer 1

分析：由題意知個(gè)n圓周最多把平面分成的片數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，利用圖形特點(diǎn)找出此數(shù)列的遞推公式，然后再求通項(xiàng)公式f（n）．

解答：解：易知：1個(gè)圓周最多把平面分成2片，2個(gè)圓周最多把平面分成4片；
設(shè)n個(gè)圓周已把平面分成f（n）片，
再放入第n+1個(gè)圓周，為使得到盡可能多的片，第n+1個(gè)應(yīng)與前面n個(gè)都相交且交點(diǎn)均不同，
∵有條n公共弦，其端點(diǎn)把第n+1個(gè)圓周分成2n段，每段都把已知的某一片劃分成2片，
即f（n+1）=f（n）+2n（n≥1），∴f（n）-f（1）=n（n-1），
∵f（1）=2，∴f（n）=n²-n+2．
故答案為：4，n²-n+2．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵根據(jù)題意和圖形的特點(diǎn)，找出數(shù)列的遞推公式，求出f（n）．