Question

已知函數(shù)f(x)=

-( 1 2 )x，a≤x＜0 -x2+2x， 0≤x≤4

的值域為[-8，1]，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)0≤x≤4時，函數(shù)的值域剛好為[-8，1]，故只需y=-(

1

2

)x，a≤x＜0的值域為[-8，1]的子集，可得a的不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答： 解：當(dāng)0≤x≤4時，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x=1，
故函數(shù)在[0，1]單調(diào)遞增，[1，4]單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1時，函數(shù)取最大值1，當(dāng)x=4時，函數(shù)取最小值-8，
又函數(shù)f（x）的值域為[-8，1]，
∴y=-(

1

2

)x，a≤x＜0的值域應(yīng)為[-8，1]的子集，
又y=-(

1

2

)x單調(diào)遞增，∴y∈[-(

1

2

)a，-1），
故只需-(

1

2

)a≥-8即可，解得-3≤a＜0
故答案為：-3≤a＜0．

點評：本題考查函數(shù)的值域，涉及分段函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，屬基礎(chǔ)題．