Question

數(shù)列滿(mǎn)足．
（1）計(jì)算，，，，由此猜想通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明此猜想；
（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，求證：．

Answer 1

（1）1，，， a_n＝ (n∈N^*)．
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明來(lái)分為兩步驟來(lái)加以證明即可。

試題分析：解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝2－a₁，∴a₁＝1.
當(dāng)n＝2時(shí)，a₁＋a₂＝S₂＝2×2－a₂，∴a₂＝.                        1分
當(dāng)n＝3時(shí)，a₁＋a₂＋a₃＝S₃＝2×3－a₃，∴a₃＝.
當(dāng)n＝4時(shí)，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝S₄＝2×4－a₄，∴a₄＝.              2分
由此猜想a_n＝ (n∈N^*)．                                     4分
現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n＝1時(shí)， a₁＝＝1，結(jié)論成立．
②假設(shè)n＝k（k≥1且k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，即a_k＝，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
a_k＋1＝S_k＋1－S_k＝2(k＋1)－a_k＋1－2k＋a_k＝2＋a_k－a_k＋1，
∴2a_k＋1＝2＋a_k，∴a_k＋1＝＝＝，故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立，
由①②知猜想a_n＝ (n∈N^*)成立．                                    8分
(2)由(1)知，，．               9分
解法1：當(dāng)時(shí)， 
                10分

．                                12分
解法2：當(dāng)時(shí)，，
                           10分

．              12分
解法3： 當(dāng)時(shí)，                     10分


 
 
．   12分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了數(shù)列的猜想以及數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。