【題目】已知四棱錐,,,,點在底面上的射影是的中點,

1)求證:直線平面;

2)若,分別為、的中點,求直線與平面所成角的正弦值;

3)當四棱錐的體積最大時,求二面角的大。

【答案】1)證明見解析(23

【解析】

1)連接,由題意可得出平面,可得出,由等腰三角形三線合一的思想可得出,再利用線面垂直的判定定理可得出結論;

2)以點為坐標原點,、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系,先由求出點的坐標,然后利用空間向量法可求出直線與平面所成角的正弦值;

3)設,則,,利用基本不等式求出三棱錐體積的最大值,求出的值,以點為坐標原點,、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系,利用空間向量法可求出二面角的大。

1)連接,因為平面,平面,所以,

又因為,且的中點,故

,所以平面;

2)以為原點,、所在直線分別為、軸建立直角坐標系如圖所示,

,,,,

于是,解得.即

所以,,

設平面的法向量為,,,

,令,得,

所以

故直線與平面所成角的正弦值為;

3)設,則,

所以,

當且僅當時取等號,此時,,

為原點,、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系如圖所示,

,,,

設平面的法向量為,,,

,令,得,

同理,可得平面的一個法向量為的,

所以,

又因為二面角為鈍二面角,所以二面角的大小為

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偏愛蔬菜

偏愛肉類

男生

4

8

女生

16

2

1)求這30名學生中偏愛蔬菜的概率;

2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),是否有99.5%的把握認為偏愛蔬菜與偏愛肉類與性別有關?

附:,.

0

0

0

6

7

10.8

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(2)若這10名同學中,男生和女生的國學素養(yǎng)測試成績的標準差分別為S1,S2,試比較S1S2的大。ú槐赜嬎,只需直接寫出結果);

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