【題目】設(shè)f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+ ). (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f( )=0,a=1,求△ABC面積的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)由題意可知,f(x)= sin2x﹣ = sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k ≤2x≤2k ,k∈Z可解得:k ≤x≤k ,k∈Z;
由2k ≤2x≤2k ,k∈Z可解得:k ≤x≤k ,k∈Z;
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[k ,k ],(k∈Z);單調(diào)遞減區(qū)間是:[k ,k ],(k∈Z);
(Ⅱ)由f( )=sinA﹣ =0,可得sinA=
由題意知A為銳角,所以cosA= ,
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,
可得:1+ bc=b2+c2≥2bc,即bc ,且當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立.
因此S= bcsinA≤
所以△ABC面積的最大值為
【解析】(Ⅰ)由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得f(x)=sin2x﹣ ,由2k ≤2x≤2k ,k∈Z可解得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,由2k ≤2x≤2k ,k∈Z可解得單調(diào)遞減區(qū)間.(Ⅱ)由f( )=sinA﹣ =0,可得sinA,cosA,由余弦定理可得:bc ,且當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,從而可求 bcsinA≤ ,從而得解.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用兩角和與差的正弦公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握兩角和與差的正弦公式:;正弦函數(shù)的單調(diào)性:在上是增函數(shù);在上是減函數(shù).

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