【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M是棱SB的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:AM∥面SCD;
(Ⅱ)求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn),MN與面SAB所成的角為θ,求sinθ的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 A(0,0,0),B(0,2,0),D(1,0,0,),S(0,0,2),M(0,1,1).
,
設(shè)平面SCD的法向量是 ,則 ,即
令z=1,則x=2,y=﹣1.于是
,∴
又∵AM平面SCD,∴AM∥平面SCD.
(Ⅱ)易知平面SAB的法向量為 .設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為α,
= = ,即
∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為
(Ⅲ)設(shè)N(x,2x﹣2,0),則
= = =
當(dāng) ,即 時(shí),

【解析】(Ⅰ)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面SCD的法向量 即可證明AM∥平面SCD;(Ⅱ)分別求出平面SCD與平面SAB的法向量,利用法向量的夾角即可得出;(Ⅲ)利用線面角的夾角公式即可得出表達(dá)式,進(jìn)而利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線平行;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在直三棱柱中, , , 的中點(diǎn).

(1)求證: 平面;

(2)求二面角的余弦值.

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【題目】對(duì)于定義在上的函數(shù),有下列四個(gè)命題:

①若是奇函數(shù),則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;

②若對(duì),有,則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;

③若對(duì),有,則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;

④函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.

其中正確命題的序號(hào)為__________.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)

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【題目】已知直線和圓.

(1)求證:直線恒過(guò)一定點(diǎn);

(2)試求當(dāng)為何值時(shí),直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短;

(3)在(2)的前提下,直線是過(guò)點(diǎn),且與直線平行的直線,求圓心在直線上,且與圓相外切的動(dòng)圓中半徑最小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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【題目】設(shè)f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+ ). (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f( )=0,a=1,求△ABC面積的最大值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的方程為4ρcosθ﹣ρsinθ﹣25=0,曲線W: (t是參數(shù)).
(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線W的普通方程;
(2)若點(diǎn)P在直線l上,Q在曲線W上,求|PQ|的最小值.

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【題目】某市對(duì)高二學(xué)生的期末理科數(shù)學(xué)測(cè)試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示,全市10000名學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布現(xiàn)從甲校100分以上(100)200份試卷中用系統(tǒng)抽樣中等距抽樣的方法抽取了20份試卷來(lái)分析(試卷編號(hào)為001,002,…,200),統(tǒng)計(jì)如下:

注:表中試卷編號(hào)

(1)寫(xiě)出表中試卷得分為144分的試卷編號(hào)(寫(xiě)出具體數(shù)據(jù)即可);

(2)該市又從乙校中也用與甲校同樣的抽樣方法抽取了20份試卷,將甲乙兩校這40份試卷的得分制作了莖葉圖(如圖)在甲、乙兩校這40份學(xué)生的試卷中,從成績(jī)?cè)?/span>140分以上(140)的學(xué)生中任意抽取3人,該3人在全市排名前15名的人數(shù)記為,求隨機(jī)變量的分布列和期望.

:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布

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成立,那么下列命題總成立的是( )

A. 成立,則成立;

B. 成立,則成立;

C. 成立,則當(dāng)時(shí),均有成立;

D. 成立,則當(dāng)時(shí),均有成立.

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C.(﹣3,0)∪(3,+∞)
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