(本小題滿分14分)
如圖所示,四棱錐中,底面為正方形,平面,,,,分別為、、的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.
(1)要證 ,只需證,只需證 平面; (2)。
解析試題分析:(1)∵平面,平面,
∴ 又為正方形,∴.又,…………3分
∴平面 ∵平面,∴. ………………………………5分
∵中,中位線,∴ ……………6分
(2)記AD中點(diǎn)為H,連結(jié)FH、HG,易知GH//DC,,
又中EF//DC,∴EF//GH所以E、F、H、G四點(diǎn)共面……7分
∴平面EFG與平面ABCD交于GH,所求銳二面角為F-GH-D.……………8分
由(1)平面,EF//DC//GH∴平面
即平面FHD,平面FHD,
所以FH,DH,
∴二面角F-GH-D的平面角是 ……………………11分
FH是等腰直角的中位線,= …………………………13分
∴所求銳二面角的余弦值為.………………14分
證法2:DA、DC、DP兩兩垂直,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系…1分
則,, ,,G(1,2,0), ………3分
(1), ………………4分
∵ ∴……6分
∴ ………………………………………7分
(2)∵平面,
∴是平面的一個(gè)法向量.………9分
設(shè)平面EFG的法向量為,∵
令,得是平面的一個(gè)法向量. …………11分
∵ …………………………13分
∴所求銳二面角的余弦值為. ……………………………14分
考點(diǎn):線面垂直的性質(zhì)定理;線面垂直的判定定理;二面角。
點(diǎn)評(píng):二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角,但結(jié)果往往求不對(duì),出現(xiàn)的問題就是計(jì)算錯(cuò)誤。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1,側(cè)面BCC1B1丄底面ABC.
(I)若M、N分別是AB,A1C的中點(diǎn),求證:MN//平面BCC1B1
(II)若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2,側(cè)棱BB1與底面 ABC所成的角為60°.問在線段A1C1上是否存在一點(diǎn)P,使得平面B1CP丄平面ACC1A1,若存在,求C1P與PA1的比值,若不存在,說明 理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn).
(1)求證:PB⊥DM;
(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;
(3)在棱PD上是否存在點(diǎn)E,PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角為60o.存在求出λ值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖4,已知四棱錐,底面是正方形,面,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,.
(1)求證:面;
(2)若,,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ,為的中點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求平面與平面的夾角的余弦值;
(2)當(dāng)為何值時(shí),在棱上存在點(diǎn),使平面?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分l2分) 如圖,在多面體ABCDEF中,ABCD為菱形,ABC=60,EC面ABCD,F(xiàn)A面ABCD,G為BF的中點(diǎn),若EG//面ABCD.
(I)求證:EG面ABF;
(Ⅱ)若AF=AB,求二面角B—EF—D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在平行四邊形中,,將它們沿對(duì)角線折起,折后的點(diǎn)變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/4/dqotb1.png" style="vertical-align:middle;" />,且.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)線段的長(zhǎng)為多少時(shí),與平面所成的角為?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖所示,四棱錐中,為正方形, 分別是線段的中點(diǎn). 求證:
(1)//平面 ;
(2)平面⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,以頂點(diǎn) A為端點(diǎn)的三條棱 長(zhǎng)都等于1,兩兩夾角都是60°,求對(duì)角線AC1的長(zhǎng)度. (10分)
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