【題目】(2015·四川)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是( )
A.(1,3)
B.(1, 4)
C.(2,3)
D.(2,4)
【答案】D
【解析】顯然當(dāng)直線f的斜率不存在時(shí),必有兩條直線滿足題設(shè).當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k .設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2), x1≠x2 , M(x0, y0), 則,相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), 由于x1≠x2 , 所以, 即ky0=2, 圓心為C(5,0),由CM⊥AB,得k·=-1, ky0=5- x0. 所以2=5- x0 , x0=3, 即點(diǎn)M必在直線x=3上將x=3代入y2=4x得y2=12, ∴-2<y0<2. 因?yàn)辄c(diǎn)M在圓(x-5)2+y2=r2(r>0)上, 所以(x0-5)2+y02=r2 , r2=y02+4<12+4=16, 又y02+4>4(由于斜率不存在, 故y0≠0, 所以不取等號(hào)),所以4<y02+4<16, 所以2<r<4, 選D。
首先應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行分析.結(jié)合圖形易知,只要圓的半徑小于5,那么必有兩條直線(即與x軸 垂直的兩條切線)滿足題設(shè),因此只需直線的斜率存在時(shí),再有兩條直線滿足題設(shè)即可.接下來要解決的問題是當(dāng)直線的斜率存在時(shí),圓的半徑的范圍是什么.涉及 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)及弦的中點(diǎn)的問題,常常采用“點(diǎn)差法”.在本題中利用點(diǎn)差法可得,中點(diǎn)必在直線x=3上,由此可確定中點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0的范圍,利用這個(gè)范圍即可得到r的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】執(zhí)行如圖框圖,已知輸出的s∈[0,4],若輸入的t∈[m,n],則實(shí)數(shù)n﹣m的最大值為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動(dòng),記BOP=x,將動(dòng)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)的圖像大致為()
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·新課標(biāo)I卷)在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C:y=與直線y=kx+a(a>0)交與M,N兩點(diǎn),
(1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;
(2)y軸上是否存在點(diǎn)P , 使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說明理由.
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【題目】設(shè)的對(duì)邊分別為且為銳角,問:(1)證明: B - A = ,(2)求 sin A + sin C 的取值范圍
(1)(1)證明:
(2)(2)求的取值范圍
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【題目】(2015·四川)一輛小客車上有5個(gè)座位,其座位號(hào)為1,2,3,4,5,乘客P1 , P2 , P3 , P4 , P5的座位號(hào)分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號(hào)順序先后上車,乘客P1因身體原因沒有坐自己號(hào)座位,這時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐,就在這5個(gè)座位的剩余空位中選擇座位.
(1)(I)若乘客P1坐到了3號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時(shí)共有4種坐法.下表給出其中兩種坐法,請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就坐的座位號(hào)填入表中空格處)
乘客 | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 |
座位號(hào) | 3 | 2 | 1 | 4 | 5 |
3 | 2 | 4 | 5 | 1 | |
(2)(Ⅱ)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就坐,求乘客P1坐到5號(hào)座位的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·四川)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為,則cos的最大值為 .
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【題目】(2015·陜西)“sin=cos”是“cos2=0”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·湖北)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.
如圖,在陽馬P-ABCD中,側(cè)棱底面,且,過棱的中點(diǎn),作交于點(diǎn),連接
(1)證明:平面.試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫
出結(jié)論);若不是,說明理由;
(2)若面與面所成二面角的大小為 , 求的值.
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