Question

【題目】(2015·湖北）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．
如圖，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接
（1）證明：平面．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)
出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由；
（2）若面與面所成二面角的大小為 ， 求的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解答一：因?yàn)?/span>底面，所以,由底面為長(zhǎng)方形，有,而,所以平面.而平面，所以.又因?yàn)?/span>,點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.而,所以平面.而平面，所以。又,,所以平面

.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為.

解答二：如圖2，以D為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)，

則,,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以,,于是

,即.又已知,而,所以平面.因,,則,所以平面，由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為.

（2）

【解析】（2）
解答一：如圖1，在面內(nèi)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面的交線，由（Ⅰ）知，平面，所以.又因?yàn)?/span>底面，所以。而,所以平面.故是面與面所成二面角的平面角，設(shè),,有,在RtPDB中，由,得,則,解得.所以.
故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，.

解答二：
由平面，所以是平面的一個(gè)法向量；由（Ⅰ）知平面，所以是平面的一個(gè)法向量。若面與面所成二面角的大小為，則,解得.所以.故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，.