【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:恒成立.
【答案】(1),當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)求出(),通過(guò)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
證法二:記函數(shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),,問(wèn)題得證.
(Ⅰ) (),
當(dāng)時(shí),恒成立,所以,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),令,得到,所以,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)證法一:由(Ⅰ)可知,當(dāng)時(shí),,
特別地,取,有,即,所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),
因此,要證恒成立,只要證明在上恒成立即可,
設(shè)(),則,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時(shí),,即在上恒成立.
因此,有,又因?yàn)閮蓚(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立,所以有恒成立.
證法二:記函數(shù),
則,可知在上單調(diào)遞增,又由知, 在上有唯一實(shí)根,且,則,即(*),
當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增,
所以,結(jié)合(*)式,知,
所以,
則,即,所以有恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱錐P-ABC,D,E,F(xiàn)分別是棱PA,PB,PC的中點(diǎn).求證:平面DEF∥平面ABC.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,求,的值;
(2)當(dāng)時(shí),在區(qū)間上至少存在一個(gè),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面是矩形,,,,且.
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè)是的中點(diǎn),判斷并證明在線段上是否存在點(diǎn),使平面,若存在,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PCD,PD⊥CD,底面ABCD是梯形,AB∥DC,AB=AD=PD=1,CD=2AB, 為棱PC上一點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)是PC的中點(diǎn),證明:B∥平面PAD;
(Ⅱ) 試確定的值使得二面角-BD-P為60°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下:消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券,假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在A區(qū)域返券60元;停在B區(qū)域返券30元;停在C區(qū)域不返券.例如:消費(fèi)218元,可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
(1)若某位顧客消費(fèi)128元,求返券金額不低于30元的概率;
(2)若某位顧客恰好消費(fèi)280元,并按規(guī)則參與了活動(dòng),他獲得返券的金額記為(元).求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù): ,其中是儀器的月產(chǎn)量.(注:總收益=總成本+利潤(rùn))
(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù);
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?
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【題目】針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”,某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的,男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的,女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān),則男生至少有( )人.
(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 |
k0 | 3.841 | 6.635 |
A. 12B. 6C. 10D. 18
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