【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程;

(2)討論函數(shù)的極值;

(3)若對(duì)任意的成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)

(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,且的極小值為,不存在極大值

(3)

【解析】

(1)先求導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率為,再根據(jù)直線方程得點(diǎn)斜式求得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程;

(2)先求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),再判斷零點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào),根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得極值點(diǎn),從而可得極值.

(3) 對(duì)任意的成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的成立,然后構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后討論的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可得.

解:(1)因?yàn)?/span>

所以

所以.

,

所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程為,即.

(2)因?yàn)?/span>,

所以.

,得,

因?yàn)?/span>時(shí),,時(shí),,

所以函數(shù)處取得極小值,極小值為.不存在極大值.

(3)據(jù)題意,得對(duì)任意的成立,

對(duì)任意的成立.

,

所以.

討論:

當(dāng)時(shí),,此時(shí)上單調(diào)遞增.

,所以當(dāng)時(shí),,

這與對(duì)任意的恒成立矛盾;

當(dāng)時(shí),二次方程的判別式.

,解得,此時(shí),上單調(diào)遞減.

,

所以當(dāng)時(shí),,滿足題設(shè);

,解得,此時(shí)關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根是,,其中,.

又分析知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,

所以當(dāng)時(shí),,不符合題設(shè).

綜上,所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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