【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大; (2)若sin B+sin C=1,試判斷△ABC的形狀.(12分)
【答案】(1)A=120°.(2)B=C=30°.
【解析】
(1)利用正弦定理,余弦定理即可求 的大;
方法一 由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C,
又A=120°,∴sin2B+sin2C+sin Bsin C=,
∵sin B+sin C=1,∴sin C=1-sin B.,代入求出,即可判斷;
方法二 由(1)A=120°,∴B+C=60°,
則C=60°-B,∴sin B+sin C=sin(B+60°)=1,求出,即可判斷;
解 (1)由已知,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,
即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
故cos A=-,A=120°.
(2)方法一 由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C,
又A=120°,∴sin2B+sin2C+sin Bsin C=,
∵sin B+sin C=1,∴sin C=1-sin B.
∴sin2B+(1-sin B)2+sin B(1-sin B)=,
即sin2B-sin B+=0.
解得sin B=.故sin C=.
∴B=C=30°.
所以,△ABC是等腰的鈍角三角形.
方法二 由(1)A=120°,∴B+C=60°,
則C=60°-B,
∴sin B+sin C=sin B+sin(60°-B)=sin B+cos B-sin B
=sin B+cos B=sin(B+60°)=1,
∴B=30°,C=30°.
∴△ABC是等腰的鈍角三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若將函數(shù)y=2sin 2x的圖像向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,則評(píng)議后圖象的對(duì)稱軸為( )
A.x= – (k∈Z)
B.x= + (k∈Z)
C.x= – (k∈Z)
D.x= + (k∈Z)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從含有兩件正品a,b和一件次品c的3件產(chǎn)品中每次任取一件,連續(xù)取兩次,求取出的兩件產(chǎn)品中,恰有一件是次品的概率。
(1)每次取出不放回;(2)每次取出放回;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P﹣A1B1C1D1 , 下部的形狀是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.
(1)若AB=6m,PO1=2m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少?
(2)若正四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,則當(dāng)PO1為多少時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)設(shè)a=2,b= .
①求方程f(x)=2的根;
②若對(duì)于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;
(2)若0<a<1,b>1,函數(shù)g(x)=f(x)﹣2有且只有1個(gè)零點(diǎn),求ab的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5.
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
如圖所示,在多面體 中,四邊形 均為正方形,點(diǎn) 為 的中點(diǎn),過(guò)的平面交 于 點(diǎn).
(1) 證明: ∥;
(2) 求二面角 的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列等式:
(sin )﹣2+(sin )﹣2= ×1×2;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+sin( )﹣2= ×2×3;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×3×4;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×4×5;
…
照此規(guī)律,
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+(sin )﹣2= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺(tái)ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.
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