Question

A，B，C三人進行乒乓球比賽，優(yōu)勝者按以下規(guī)則決出：
（Ⅰ）三人中兩人進行比賽，勝出者與剩下的一人進行比賽，直到出現(xiàn)兩連勝者，則此兩連勝者唄判定為優(yōu)勝者，比賽結束；
（Ⅱ）在每次比賽中，無平局，必須決出勝負．
已知A勝B的概率是

2

3

，C勝A的概率是

1

2

，C勝B的概率是

1

3

，第一場比賽在A與C中進行
（1）分別求出第二場、第三場、第四場比賽后C為優(yōu)勝者的概率；
（2）記第3n-1場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為p_n，第3n場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為q_n，第3n+1場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為r_n，n∈N^*試求p_n，q_n，r_n．

Answer 1

考點：n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由題意可知，分別得到第二場、第三場、第四場比賽后C為優(yōu)勝者的情況，再由獨立事件同時發(fā)生的概率即得答案；
（2）第一場A與C的比賽結果分兩種情況：（分類討論思想）①A與C的比賽中C勝出，②A與C的比賽中A勝出，
進而得到C在第3n-1場或者第3n+1場比賽后能成為優(yōu)勝者，在第3n場比賽后不能成為優(yōu)勝者，即可得到答案．

解答： 解：（1）由題意可知第二場比賽后C為優(yōu)勝者的情況為（C-A）→（C-B）→C，
故其概率為

1

2

×

1

3

=

1

6

；   （獨立事件同時發(fā)生的概率）      
由題意可知第三場比賽后C不可能為優(yōu)勝者，故其概率為0；（不可能事件的概率）  
由題意可知第四場比賽后C為優(yōu)勝者的情況為（C-A）→（A-B）→（B-C）→（C-A）→C，
故其概率為

1

2

×

1

3

×

1

3

×

1

2

=

1

36

．（獨立事件同時發(fā)生的概率）
（2）第一場A與C的比賽結果分兩種情況：（分類討論思想）
①A與C的比賽中C勝出，C如果要成為優(yōu)勝者，接下來的比賽按如下進行：
（C-A）→（C-B）→（B-A）→（A-C）→（C-B）→C，（n∈N^*，共3n-1場）
對n∈N*，以上比賽進行的概率為：(

2

3

×

2

3

×

1

2

)n-1×

1

6

=

1

6

•(

2

9

)n-1，
此時C在第3n-1場比賽后成為優(yōu)勝者；                                                   
②A與C的比賽中A勝出，C如果要成為優(yōu)勝者，接下來的比賽按如下進行：
（C-A）→（A-B）→（B-C）→（C-A）→（A-B）→（B-C）→（C-A）→C，（n∈N^*，共3n+1場）
對n∈N*，以上比賽進行的概率為：(

1

3

×

1

2

×

1

3

)n-1×

1

36

=

1

2

•(

1

18

)n，
此時C在第3n+1場比賽后成為優(yōu)勝者．
綜上所述，C在第3n-1場或者第3n+1場比賽后能成為優(yōu)勝者，在第3n場比賽后不能成為優(yōu)勝者，
所以pn=

1

6

•(

2

9

)n-1，q_n=0，rn=

1

2

•(

1

18

)n，n∈N^*．

點評：本題考查獨立重復試驗，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率，是一個綜合題，解題的關鍵是看清事件是什么事件，從而正確選擇公式．