Question

【題目】對于數列A：a1 ， a2 ， …，an ， 若滿足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數列A為“0﹣1數列”．若存在一個正整數k（2≤k≤n﹣1），若數列{an}中存在連續(xù)的k項和該數列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序對應相等，則稱數列{an}是“k階可重復數列”，例如數列A：0，1，1，0，1，1，0．因為a1 ， a2 ， a3 ， a4與a4 ， a5 ， a6 ， a7按次序對應相等，所以數列{an}是“4階可重復數列”．
（Ⅰ）分別判斷下列數列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5階可重復數列”？如果是，請寫出重復的這5項；
（Ⅱ）若項數為m的數列A一定是“3階可重復數列”，則m的最小值是多少？說明理由；
（III）假設數列A不是“5階可重復數列”，若在其最后一項am后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，且a4=1，求數列{an}的最后一項am的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）是“5階可重復數列”，10101．
（Ⅱ）因為數列{an}的每一項只可以是0或1，所以連續(xù)3項共有23=8種不同的情形．
若m=11，則數列{an}中有9組連續(xù)3項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為11的數列{an}一定是“3階可重復數列”；若m=10，數列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復數列”；則3≤m＜10時，均存在不是“3階可重復數列”的數列{an}．所以，要使數列{an}一定是“3階可重復數列”，則m的最小值是11．
（III）由于數列{an}在其最后一項am后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，即在數列{an}的末項am后再添加一項0或1，則存在i≠j，
使得ai ， ai+1 ， ai+2 ， ai+3 ， ai+4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 0按次序對應相等，或aj ， aj+1 ， aj+2 ， aj+3 ， aj+4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 1按次序對應相等，
如果a1 ， a2 ， a3 ， a4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am不能按次序對應相等，那么必有2≤i，j≤m﹣4，i≠j，使得ai ， ai+1 ， ai+2 ， ai+3、aj ， aj+1 ， aj+2 ， aj+3與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am按次序對應相等．
此時考慮ai﹣1 ， aj﹣1和am﹣4 ， 其中必有兩個相同，這就導致數列{an}中有兩個連續(xù)的五項恰按次序對應相等，從而數列{an}是“5階可重復數列”，這和題設中數列{an}不是“5階可重復數列”矛盾！所以a1 ， a2 ， a3 ， a4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am按次序對應相等，從而am=a4=1．
【解析】（Ⅰ）是“5階可重復數列”．（Ⅱ）因為數列{an}的每一項只可以是0或1，所以連續(xù)3項共有23=8種不同的情形．分類討論：若m=11，則數列{an}中有9組連續(xù)3項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為11的數列{an}一定是“3階可重復數列”；則3≤m＜10時，均存在不是“3階可重復數列”的數列{an}．（III）由于數列{an}在其最后一項am后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，即在數列{an}的末項am后再添加一項0或1，則存在i≠j，使得ai ， ai+1 ， ai+2 ， ai+3 ， ai+4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 0按次序對應相等，或aj ， aj+1 ， aj+2 ， aj+3 ， aj+4與am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 1按次序對應相等，經過分析可得：am=a4 ．