Question

已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，在上所有零點(diǎn)之和為（   ）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

B

試題分析：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．又∵函數(shù)g（x）=xf（x）-1，∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)g（x）的零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對(duì)出現(xiàn)的．∴函數(shù)g（x）在[-6，6]上所有的零點(diǎn)的和為0，∴函數(shù)g（x）在[-6，+∞）上所有的零點(diǎn)的和，即函數(shù)g（x）在（6，+∞）上所有的零點(diǎn)之和．由0＜x≤2時(shí)，f（x）=2^|x-1|-1，即，∴函數(shù)f（x）在（0，2]上的值域?yàn)閇，1]，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，f（x）=1，又∵當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=f(x-2)，∴函數(shù)f（x）在（2，4]上的值域?yàn)閇]，函數(shù)f（x）在（4，6]上的值域?yàn)閇]，函數(shù)f（x）在（6，8]上的值域?yàn)閇]，當(dāng)且僅當(dāng)x=8時(shí)，f（x）=，函數(shù)f（x）在（8，10]上的值域?yàn)閇]，當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，f（x）=，故f（x）＜在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上無零點(diǎn)，同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上無零點(diǎn)，依此類推，函數(shù)g（x）在（8，+∞）無零點(diǎn)，綜上函數(shù)g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零點(diǎn)之和為8，故選B
點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度較大，故可以用歸納猜想的方法進(jìn)行處理