【題目】如圖所示,在多面體中,平面,,點(diǎn)上,點(diǎn)的中點(diǎn),且,且.

(Ⅰ)證明:平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)取的中點(diǎn)為,連接,根據(jù)等比三角形的性質(zhì)可得,由線面垂直的性質(zhì)定理可得,進(jìn)而證出,利用線面垂直的判定定理可得平面,再由題意可得,,,可得,即得證.

(Ⅱ)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以以及的垂線,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量以及平面的一個(gè)法向量,利用空間向量的數(shù)量積即可求出二面角.

(Ⅰ)如圖,取的中點(diǎn)為,連接、.

中,因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)?/span>平面,平面,所以.

,所以.

由于,所以平面.

點(diǎn)、是邊、的中點(diǎn),所以,.

又因?yàn)?/span>,所以,

因此四邊形是平行四邊形,,故平面.

(Ⅱ)如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以以及的垂線,軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.

,,,,.

于是,.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量,

則由,,得,

.

同理可求出平面的一個(gè)法向量.

于是.

故二面角的余弦值是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)假設(shè)有6份血液樣本,其中只有兩份樣本為陽(yáng)性,若采取遂份檢驗(yàn)的方式,求恰好經(jīng)過兩次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率.

2)現(xiàn)取其中的份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)的方式,樣本需要檢驗(yàn)的次數(shù)為;采用混合檢驗(yàn)的方式,樣本簡(jiǎn)要檢驗(yàn)的總次數(shù)為;

(。┤,試運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系,

(ⅱ)若,采用混合檢驗(yàn)的方式需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望少,求的最大值(,,,,,

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【題目】2020年春節(jié)期間,武漢市爆發(fā)了新型冠狀病毒肺炎疫情,在黨中央的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下,全國(guó)人民團(tuán)結(jié)一心,眾志成城,共同抗擊疫情.某中學(xué)寒假開學(xué)后,為了普及傳染病知識(shí),增強(qiáng)學(xué)生的防范意識(shí),提高自身保護(hù)能力,校委會(huì)在全校學(xué)生范圍內(nèi),組織了一次傳染病及個(gè)人衛(wèi)生相關(guān)知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽(滿分100),競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下,得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng),得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng),得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng),其他學(xué)生不得獎(jiǎng).教務(wù)處為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī),并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī),求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率;

2)若該校所有參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布,其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值,利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題:

(i)若該校共有10000名學(xué)生參加了競(jìng)賽,試估計(jì)參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的學(xué)生數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));

(ii)若從所有參賽學(xué)生中(參賽學(xué)生數(shù)大于10000)隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行座談,設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>64分以上的學(xué)生數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和均值.

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1)求證:平面;

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1)求證:平面;

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1)求,的值;

2)已知本次產(chǎn)蛋量近似服從(其中近似為樣本平均數(shù),似為樣本方差).若本村約有10000只麻鴨,試估計(jì)產(chǎn)蛋量在110~120的麻鴨數(shù)量(以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的取值).

3)若以正常產(chǎn)蛋90個(gè)為標(biāo)準(zhǔn),大于90個(gè)認(rèn)為是良種,小于90個(gè)認(rèn)為是次種.根據(jù)統(tǒng)計(jì)得出兩種培育方法的列聯(lián)表如下,請(qǐng)完成表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為產(chǎn)蛋量與培育方法有關(guān).

良種

次種

總計(jì)

旱養(yǎng)培育

160

260

水養(yǎng)培育

60

總計(jì)

340

500

附:,則,,

,其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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