Question

【題目】如圖，P是正四面體V-ABC的面VBC上一點(diǎn)，點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是( )

A. 直線 B. 拋物線

C. 離心率為的橢圓 D. 離心率為3的雙曲線

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：由題設(shè)條件將點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等轉(zhuǎn)化成在面VBC中點(diǎn)P到V的距離與到定直線BC的距離比是一個(gè)常數(shù)，依據(jù)圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀．

詳解：∵正四面體V﹣ABC∴面VBC不垂直面ABC，過P作PD⊥面ABC于D，過D作DH⊥BC于H，連接PH，

可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD為二面角V﹣BC﹣A的平面角令其為θ

則Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ為V﹣BC﹣A的二面角的大�。�．

又點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等，即|PV|=|PD|

∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，點(diǎn)P到定點(diǎn)V的距離與定直線BC的距離之比是一個(gè)常數(shù)sinθ，

又在正四面體V﹣ABC，V﹣BC﹣A的二面角的大小θ有：sinθ=＜1，

由橢圓定義知P點(diǎn)軌跡為橢圓在面SBC內(nèi)的一部分．

故答案為：C．