Question

如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）（2）即點(diǎn)可在圓內(nèi)，圓上或圓外
（3）時(shí)，能使的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)

解析解：∵的右焦點(diǎn)  ∴橢圓的半焦距，又，
∴橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，短半軸的長(zhǎng).  橢圓方程為.
（1）當(dāng)時(shí)，故橢圓方程為， 3分
（2）依題意設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立 得點(diǎn)的坐標(biāo)為.
將代入得.
設(shè)、，由韋達(dá)定理得，.
又，.


∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。
即點(diǎn)可在圓內(nèi)，圓上或圓外.   ………………………………9分
（3）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，  由解得：.
∴，，又.
即的邊長(zhǎng)分別是、、 . ∴時(shí)，能使的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)。 14分
考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)來求解參數(shù)a,b,c的值，得到方程，并利用聯(lián)立方程組的思想求解弦長(zhǎng)，拋物線的定義是解決的關(guān)鍵點(diǎn)。屬于基礎(chǔ)題。