Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）若三棱錐B₁-ABC的體積為1，寫出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；（不要求過(guò)程）
（Ⅱ）若E，F(xiàn)分別是線段B₁C，A₁C₁的中點(diǎn)，求證：EF∥平面 ABB₁A₁；
（Ⅲ）若AB⊥BC，且B₁A=B₁C=B₁B=AC，求證：平面B₁AC⊥底面ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用三棱錐B₁-ABC的體積和三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積公式能直接寫出結(jié)果．
（Ⅱ）連結(jié)C₁B，A₁B，得到EF∥A₁B，由此能證明EF∥平面ABB₁A₁．
（Ⅲ）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)B₁O，BO，得到OB=OA=OC，B₁O⊥AC，從而△B₁OA≌△B₁OB，由此能證明平面B₁AC⊥底面ABC．

解答： （Ⅰ）解：∵三棱錐B₁-ABC的體積為1，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為3．
（Ⅱ）證明：連結(jié)C₁B，A₁B，
∵棱柱側(cè)面是平行四邊形，
∴線段B₁C的中點(diǎn)E是線段C₁B的中點(diǎn)，
又F是線段A₁C₁的中點(diǎn)，
∴在△C₁A₁B中，EF∥A₁B，又EF?平面ABB₁A₁，
∴EF∥平面ABB₁A₁．
（Ⅲ）證明：取AC中點(diǎn)O，連結(jié)B₁O，BO，
∵AB⊥BC，∴OB=OA=OC，
∵AB₁=B₁B₁，∴B₁O⊥AC，
又∵B₁B=AB₁，
∴△B₁OA≌△B₁OB，∴B₁O⊥OB，
∵AC∩OB=O，∴B₁O⊥平面ABC，
∵B₁O?B₁AC，
∴平面B₁AC⊥底面ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱柱的體積的求法，考查線面平行、面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運(yùn)用．