Question

已知是函數(shù)的一個極值點。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若直線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是;

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為 ，是函數(shù)的一個極值點，所以，

        因此.                                                                ---3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    

     ，

當(dāng)時，

當(dāng)時，

所以的單調(diào)增區(qū)間是，                                   ---6分

的單調(diào)減區(qū)間是.                                                 ---8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，

且當(dāng)或時，

所以的極大值為，極小值為.                ---10分

因此

   

所以在的三個單調(diào)區(qū)間,

因為直線有的圖象各有一個交點，當(dāng)且僅當(dāng)

因此，的取值范圍為.                                      ---12分

考點：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)等基礎(chǔ)知識，運用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、最值），以及利用函數(shù)的單調(diào)性考查已知兩函數(shù)交點各數(shù)時參數(shù)的取值范圍，考查學(xué)生代數(shù)恒等變形能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

點評：導(dǎo)數(shù)的工具性使得導(dǎo)數(shù)在高考中的應(yīng)用有得天獨厚的優(yōu)勢，特別是在研究函數(shù)的性質(zhì)方面.近年，各地高考都從不同的方面對導(dǎo)數(shù)內(nèi)容進行考查，既有考查導(dǎo)數(shù)的小題，又有考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的大題.