已知橢圓的焦距為,過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為,為坐標原點.
(1)求橢圓的方程.
(2)設斜率為的直線與相交于、兩點,記面積的最大值為,證明:.
(1);(2)詳見解析.
解析試題分析:(1)利用題干中的已知條件分別求出、、,從而寫出橢圓的方程;(2)設直線的方程為,將直線的方程與橢圓的方程聯立,借助韋達定理求出弦長,并求出原點到直線的距離,然后以為底邊,為高計算的面積,利用基本不等式驗證時和時的最大面積與,從而證明題中的結論.
試題解析:(1)由題意,得橢圓的半焦距,右焦點,上頂點,
所以直線的斜率為,
解得,
由,得,
所以橢圓W的方程為;
(2)設直線的方程為,其中或,,.
由方程組得,
所以,(*)
由韋達定理,得,.
所以.
因為原點到直線的距離,
所以,
當時,因為,
所以當時,的最大值,
驗證知(*)成立;
當時,因為,
所以當時,的最大值;
驗證知(*)成立.
所以.
注:本題中對于任意給定的,的面積的最大值都是.
考點:1.橢圓的方程;2.弦長公式;2.點到直線的距離;4.基本不等式
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知拋物線C1:x2=y,圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點M
(1)求點M到拋物線C1的準線的距離;
(2)已知點P是拋物線C1上一點(異于原點),過點P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A,B兩點,若過M,P兩點的直線l垂直于AB,求直線l的方程
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
拋物線,直線過拋物線的焦點,交軸于點.
(1)求證:;
(2)過作拋物線的切線,切點為(異于原點),
(i)是否恒成等差數列,請說明理由;
(ii)重心的軌跡是什么圖形,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為F,A為短軸的一個端點,且,的面積為1(其中為坐標原點).
(1)求橢圓的方程;
(2)若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點,動點M滿足,連結CM,交橢圓于點,證明:為定值;
(3)在(2)的條件下,試問軸上是否存在異于點C的定點Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點,若存在,求出點Q的坐標;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的短半軸長為,動點在直線(為半焦距)上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程;
(3)設是橢圓的右焦點,過點作的垂線與以為直徑的圓交于點,
求證:線段的長為定值,并求出這個定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點,點是橢圓上不同于的任意一點,設直線的斜率分別為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)當,在焦點在軸上的橢圓上求一點Q,使該點到直線(的距離最大。
(3)試判斷乘積“(”的值是否與點(的位置有關,并證明你的結論;
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
給定橢圓:,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為,其短軸上的一個端點到的距離為.
(1)求橢圓的方程和其“準圓”方程;
(2)點是橢圓的“準圓”上的動點,過點作橢圓的切線交“準圓”于點.
(。┊旤c為“準圓”與軸正半軸的交點時,求直線的方程,
并證明;
(ⅱ)求證:線段的長為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知雙曲線=1的離心率為2,焦點到漸近線的距離等于,過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點,F1為左焦點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若△F1AB的面積等于6,求直線l的方程.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com