已知橢圓的方程為,其中.
(1)求橢圓形狀最圓時的方程;
(2)若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點,證明:點在一個定圓上.

(1);(2)證明過程詳見解析.

解析試題分析:本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、韋達定理等基礎(chǔ)知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計算能力.第一問,根據(jù)橢圓的標準方程應(yīng)滿足的條件得:,且,則知橢圓的長軸在y軸上,而橢圓形狀最圓時e最小,則先得到e的表達式,再根據(jù)三角函數(shù)的有界性求表達式的最小值,得到取得最小值時的的值,從而得到橢圓的標準方程;第二問,設(shè)出交點P的坐標,根據(jù)直線的斜率是否存在,分2種情況討論,當斜率存在時,設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,得到關(guān)于k的方程,由于兩切線垂直,則,利用上述方程的兩根之積得到的值,整理出方程形式,再驗證當斜率不存在時P點坐標,得到最終結(jié)論.
試題解析:(1)根據(jù)已知條件有,且,故橢圓的長軸在軸上.
,當且僅當時取等號.
由于橢圓的離心率最小時其形狀最圓,故最圓的橢圓方程為.    5分
(2)設(shè)交點,過交點的直線與橢圓相切.
(1)當斜率不存在或等于零時,易得點的坐標為.    6分
(2)當斜率存在且非零時,則設(shè)斜率為,則直線
與橢圓方程聯(lián)立消,得:.
由相切,,
化簡整理得.①
因過橢圓外一點有兩條直線與橢圓相切,由已知兩切線垂直,故,而為方程①的兩根,
,整理得:.
也滿足上式,
點的軌跡方程為,即點在定圓上.   13分
考點:橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、韋達定理.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè),過點作直線(不與軸重合)交橢圓于、兩點,連結(jié)、分別交直線、兩點,試探究直線、的斜率之積是否為定值,若為定值,請求出;若不為定值,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知拋物線C:,點A、B在拋物線C上.

(1)若直線AB過點M(2p,0),且=4p,求過A,B,O(O為坐標原點)三點的圓的方程;
(2)設(shè)直線OA、OB的傾斜角分別為,且,問直線AB是否會過某一定點?若是,求出這一定點的坐標,若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點P(2,1)在橢圓上,求橢圓的方程;
⑵若存在過點A(1,0)的直線,使點C(2,0)關(guān)于直線的對稱點在橢圓上,求橢圓的焦距的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,已知,,是橢圓上不同的三點,,在第三象限,線段的中點在直線上.

(1)求橢圓的標準方程;
(2)求點C的坐標;
(3)設(shè)動點在橢圓上(異于點,,)且直線PB,PC分別交直線OA,兩點,證明為定值并求出該定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(1)已知定點、,動點N滿足(O為坐標原點),,,,求點P的軌跡方程.
(2)如圖,已知橢圓的上、下頂點分別為,點在橢圓上,且異于點,直線與直線分別交于點

(。┰O(shè)直線的斜率分別為、,求證:為定值;
(ⅱ)當點運動時,以為直徑的圓是否經(jīng)過定點?請證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的焦距為,過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為,為坐標原點.
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)斜率為的直線相交于兩點,記面積的最大值為,證明:.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,其長軸長與短軸長的和等于6.

(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,設(shè)橢圓的上、下頂點分別為,是橢圓上異于的任意一點,直線分別交軸于點,若直線與過點的圓相切,切點為.證明:線段的長為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知曲線E:ax2+by2=1(a>0,b>0),經(jīng)過點M的直線l與曲線E交于點A、B,且=-2.
(1)若點B的坐標為(0,2),求曲線E的方程;
(2)若a=b=1,求直線AB的方程.

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