給定橢圓,稱圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

(1)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點(diǎn),過點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).
(。┊(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線的方程,
并證明;
(ⅱ)求證:線段的長為定值.

(1),,(2)(。,(ⅱ)詳見解析.

解析試題分析:(1)求橢圓方程,利用待定系數(shù)法,列兩個(gè)獨(dú)立方程就可解出因?yàn)槎梯S上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為,所以所以再根據(jù)“準(zhǔn)圓”定義,寫出“準(zhǔn)圓”方程.(2)(。┲本與橢圓相切問題,通常利用判別式為零求切線方程,利用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立消得關(guān)于的一元二次方程,由判別式為零得斜率,即證得兩直線垂直.(ⅱ)本題是(。┑囊话慊,首先對斜率是否存在進(jìn)行討論,探討得斜率不存在時(shí)有兩直線垂直,即將問題轉(zhuǎn)化為研究直線是否垂直問題,具體就是研究是否成立.研究思路和方法同(。,由于點(diǎn)坐標(biāo)在變化,所以由判別式為零得關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等式:,即,而這等式對兩條切線都適用,所以的斜率為方程兩根,因此.當(dāng)垂直時(shí),線段為準(zhǔn)圓的直徑,為定值4.
試題解析:解:(1)
橢圓方程為,                            2分
準(zhǔn)圓方程為.                             3分
(2)(。┮?yàn)闇?zhǔn)圓軸正半軸的交點(diǎn)為
設(shè)過點(diǎn)且與橢圓相切的直線為,
所以由.
因?yàn)橹本與橢圓相切,
所以,解得,       6分
所以方程為.                 7分
,.                              8分
(ⅱ)①當(dāng)直線中有一條斜率不存在時(shí),不妨設(shè)直線斜率不存在,
,
當(dāng)時(shí),與準(zhǔn)圓交于點(diǎn),
此時(shí)(或),顯然直線垂直;
同理可證當(dāng)時(shí),直線垂直.             10分
②當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)點(diǎn),其中.
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓相切的直線為

練習(xí)冊系列答案
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已知拋物線C:,點(diǎn)A、B在拋物線C上.

(1)若直線AB過點(diǎn)M(2p,0),且=4p,求過A,B,O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))三點(diǎn)的圓的方程;
(2)設(shè)直線OA、OB的傾斜角分別為,且,問直線AB是否會過某一定點(diǎn)?若是,求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo),若不是,請說明理由.

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已知橢圓的焦距為,過右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)斜率為的直線相交于兩點(diǎn),記面積的最大值為,證明:.

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已知橢圓的離心率為,其長軸長與短軸長的和等于6.

(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為是橢圓上異于的任意一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),若直線與過點(diǎn)的圓相切,切點(diǎn)為.證明:線段的長為定值.

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已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F和橢圓的右焦點(diǎn)重合,直線過點(diǎn)F交拋物線于A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線交y軸于點(diǎn)M,且,m、n是實(shí)數(shù),對于直線,m+n是否為定值?
若是,求出m+n的值;否則,說明理由.

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如圖,已知點(diǎn)是離心率為的橢圓上的一點(diǎn),斜率為的直線交橢圓,兩點(diǎn),且、、三點(diǎn)互不重合.

(1)求橢圓的方程;(2)求證:直線,的斜率之和為定值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4,其中C1,C2. 設(shè)點(diǎn)P的軌跡為
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線與C交于A,B兩點(diǎn).問k為何值時(shí)?此時(shí)的值是多少?

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已知曲線E:ax2+by2=1(a>0,b>0),經(jīng)過點(diǎn)M的直線l與曲線E交于點(diǎn)A、B,且=-2.
(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),求曲線E的方程;
(2)若a=b=1,求直線AB的方程.

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(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程;
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線段ON的長為定值,并求出這個(gè)定值.

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