Question

 是雙曲線 上一點，、分別是雙曲線的左、右頂點，直線，的斜率之積為.

(1)求雙曲線的離心率；
(2)過雙曲線的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于，兩點，為坐標原點，為雙曲線上一點，滿足，求的值．

Answer 1

(1) e＝.  (2)λ＝0或λ＝－4.

試題分析：(1)點P(x₀，y₀)(x₀≠±a)在雙曲線＝1上，有＝1，        1分
由題意又有·＝，                       2分
可得a²＝5b²，c²＝a²＋b²＝6b²，則e＝.                  4分
(2)聯(lián)立，得4x²－10cx＋35b²＝0，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)
則①                          6分
設，，即
又C為雙曲線上一點，即－5＝5b²，有(λx₁＋x₂)²－5(λy₁＋y₂)²＝5b²  。7分
化簡得：λ²(－5)＋(－5)＋2λ(x₁x₂－5y₁y₂)＝5b²             。9分
又A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在雙曲線上，所以－5＝5b²，－5＝5b²
由①式又有x₁x₂－5y₁y₂＝x₁x₂－5(x₁－c)(x₂－c)＝－4x₁x₂＋5c(x₁＋x₂)－5c²＝10b²
得λ²＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.                   12分
點評：難題，曲線關系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題利用雙曲線的標準方程，確定得到離心率。本題（II）在利用韋達定理的基礎上，又利于點在曲線上得到λ的方程，使問題得解。