曲線y=f(x)=ax3+bx2+cx,當(dāng)x=1-時,f(x)有極小值，當(dāng)x=1+處有極大值，且在x=1處切線的斜率為.

(1)求f(x)；

(2)曲線上是否存在一點(diǎn)P，使得y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P中心對稱？若存在，請求出點(diǎn)P坐標(biāo)，并給出證明；若不存在，請說明理由.

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.

∵當(dāng)x=1±時,f(x)有極小值及極大值,

∴f′(1±)=0,即1±為3ax2+2bx+c=0的兩根.

∴

∴b=-3a,c=-6a.                                                            

又∵f(x)在x=1處切線的斜率為,

∴f′(1)=,∴3a+2b+c=.

∴a=-,b=,c=1.

∴f(x)=-x3+x2+x.                                                      

(2)假設(shè)存在P(x0,y0)，使得f(x)的圖象關(guān)于P中心對稱，

則f(x0+x)+f(x0-x)=2y0,

即-(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x-(x0-x)3+(x0-x)2+x0-x=2y0,

化簡得(1-x0)x2+x02+2x0-x03=2y0.

∵對于任意x∈R等式都成立,

∴

∴x0=1,y0=.易知P(1，)在曲線y=f(x)上.

∴曲線上存在P(1，)使得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P中心對稱.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線y=f(x)=ax-
b
x
在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0，則a，b的值分別為（　�。�
A、
a=1
b=3
B、
a=-1
b=3
C、
a=1
b=-3
D、
a=-1
b=-3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R．
（Ⅰ）若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）設(shè)x＞0，討論曲線y=
f(x)
x2
與直線y=m（m＞0）公共點(diǎn)的個數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)a＜b，比較f(
a+b
2
)，
f(b)-f(a)
b-a
的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
a(x-1)2
2x+b
，曲線y=f(x)與直線l：4x+3y-5=0切于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，g(x)=2x-
1
3
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對于一切x∈[2，5]，總存在x1∈[m，n]，使f（x）=g（x1）成立，求n-m的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃岡模擬）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=1，求曲線y=f(x)在x=
12
處切線的斜率；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=2x，若對任意x1∈（0，+∞），存在x2∈[0，1]，使f（x1）＜g（x2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黔東南州一模）已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+nx+m-1，當(dāng)x=-1時取得極值，且函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)是x軸上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，B點(diǎn)是曲線y=f(x)(0＜x≤
45
)上但不在x軸上的動點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．

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