Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）設(shè)x＞0，討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)a＜b，比較f(

a+b

2

)，

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出函數(shù)的反函數(shù)，利用直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ） 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用最值討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）利用作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的反函數(shù)為g（x）=lnx，g′(x)=

1

x

，
設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），則k=

1

x0

，切線方程：y=

1

x0

x-1+lnx0，
則-1+lnx₀=1，∴x0=e2，∴k=

1

e2

．
（Ⅱ）設(shè)h(x)=

ex

x2

(x＞0)，則h′(x)=

ex(x-2)

x3

，
由h'（x）＞0，得x＞2，
由h'（x）＜0，得0＜x＜2，
所以h（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，所以h(x)min=h(2)=

e2

4

，
且x＞0且x→0，則h（x）→+∞；x→+∞，則h（x）→+∞．
所以0＜m＜

e2

4

時(shí)，沒有交點(diǎn)；m=

e2

4

時(shí) 1個(gè)交點(diǎn)；m＞

e2

4

時(shí) 2個(gè)交點(diǎn)．
（Ⅲ）f(

a+b

2

)-

f(b)-f(a)

b-a

=e

a+b

2

-

eb-ea

b-a

=ea(e

b-a

2

-

eb-a-1

b-a

)=ea•

(b-a)e b-a 2 -eb-a+1

b-a

；
∵a＜b，∴b-a＞0，e^a＞0，設(shè)t=

b-a

2

，t＞0，u=2t•e^t-e^2t+1u'=2e^t（1+t-e^t）＜0在（0，+∞）恒成立，
設(shè)v=1+t-e^t，v'=1-e^t＜0，在t＞0時(shí)恒成立，v＜v（0）=0，
所以u(píng)'=2e^t（1+t-e^t）＜0在（0，+∞）恒成立）u=2t•e^t-e^2t+1在（0，+∞）遞減，
t＞0時(shí)u＜u（0）=0，f(

a+b

2

)-

f(b)-f(a)

b-a

＜0，在a＜b時(shí)恒成立，f(

a+b

2

)＜

f(b)-f(a)

b-a

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．