Question

（2012•黔東南州一模）已知函數f（x）=x³+mx²+nx+m-1，當x=-1時取得極值，且函數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）O是坐標原點，A點是x軸上橫坐標為2的點，B點是曲線y=f(x)(0＜x≤

4

5

)上但不在x軸上的動點，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用函數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為4，建立方程組，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導數，確定函數的單調性，要使△OAB的面積最大，由O、A兩點在x軸上且|OA|=2知，只需在(0，

4

5

]上，|f（x_B）|的值最大，由此可求△AOB面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²+2mx+n…（1分）
由已知得

3-2m+n=0 3+2m+n=4

，∴

m=1 n=-1

．
故f（x）=x³+x²-x…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x²+2x-1=（x+1）（3x-1）
∴f（x）在(0，

1

3

)上為減函數，在(

1

3

，

4

5

)上為增函數            …（7分）
要使△OAB的面積最大，由O、A兩點在x軸上且|OA|=2知，只需在(0，

4

5

]上，|f（x_B）|的值最大，
由f（x）在區(qū)間(0，

4

5

]上的單調性知，只有當x=

1

3

或x=

4

5

時，|f（x_B）|的值最大…（9分）
而|f(

1

3

)|=

5

27

＜|f(

4

5

)|=

44

125

…（10分）
故當x=

4

5

時，△OAB的面積最大，且最大值為

1

2

×2×

44

125

=

44

125

…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，解題的關鍵是正確求導數．