【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小1.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點(diǎn)和.設(shè)線段， 的中點(diǎn)分別為，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求面積的最小值.

【答案】（1） （2）過定點(diǎn)，（3）4

【解析】試題分析：（Ⅰ）先借助拋物線定義確定曲線的形狀是拋物線，再確定參數(shù)，進(jìn)而求出；（Ⅱ）先依據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論分別建立的方程，再分別與拋物線聯(lián)立方程組，求出弦中點(diǎn)為的坐標(biāo)，最后借助斜率的變化確定直線經(jīng)過定點(diǎn)；（Ⅲ）在（Ⅱ）前提條件下，先求出，然后建立面積關(guān)于變量的函數(shù)，再運(yùn)用基本不等式求其最小值：

解：（Ⅰ）由題意可知：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離.根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是拋物線.

∵，∴拋物線方程為：

（Ⅱ）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由題意可設(shè)直線的方程為.

由，得.

.

因?yàn)橹本�與曲線于兩點(diǎn)，所以.

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由題知，直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)直線的斜率.

所以，直線的方程為，整理得.

于是，直線恒過定點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，也過點(diǎn).

綜上所述，直線恒過定點(diǎn).

（Ⅲ）可求得.所以面積.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“ ”成立，所以面積的最小值為4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四棱臺(tái)被過點(diǎn)的平面截去一部分后得到如圖所示的幾何體，其下底面四邊形是邊長為2的菱形，，平面，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若與底面所成角的正切值為2，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)在上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的取值集合.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)在直線的下方.

（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作W的切線，記兩切線的交點(diǎn)為. 判斷四邊形是否為梯形，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小1.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點(diǎn)和.設(shè)線段， 的中點(diǎn)分別為，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線相交于兩點(diǎn).

(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;

(2)若,求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8,點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線的交點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓與直線相切.

（1）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求；

（2）設(shè)圓與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線交圓于兩點(diǎn)，且，試證明直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=axlnx﹣x+l （a∈R），且f（x）≥0．

（I）求a；

（ II）求證：當(dāng)，n∈N*時(shí)，

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案