Question

【題目】設(shè)函數(shù)

當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

令其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

當時，令若與的圖象有兩個交點,求證：

Answer 1

【答案】（1）單增區(qū)間為單減區(qū)間為.（2）（3）見解析

【解析】

試題（1）先求導函數(shù),再求導函數(shù)在定義區(qū)間上零點,列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律,確定函調(diào)單調(diào)區(qū)間（2）先根據(jù)導數(shù)幾何意義得不等式,再利用參變分離法將不等式轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值最大值 ,根據(jù)二次函數(shù)最值求得實數(shù)的取值范圍；(3)本小題較難,需作兩次構(gòu)造:一是消去a，構(gòu)造以為自變量的函數(shù)，根據(jù)導數(shù)得其單調(diào)性，利用基本不等式得到二是構(gòu)造利用導數(shù)易得單調(diào)性，可得，即得

試題解析：解：（1）定義域為，

，

令解得，令解得，

∴的單增區(qū)間為單減區(qū)間為.

(2)

∴即

令，∴在上單調(diào)遞增，

∴∴，∴

(3)定義域

∴①，②

①+②得即，③

①-②得即，④

由③④得，不妨設(shè)，記，

令∴

∴在上單調(diào)遞增，∴

∴即∴

∴

∴即

令∴∴在上單調(diào)遞增.

又∴

即∴