Question

如圖，已知矩形ABCD的邊AB=2，BC=

2

，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，沿AF、EC分別把三角形ADF和三角形EBC折起，使得點(diǎn)D和點(diǎn)B重合，記重合后的位置為點(diǎn)P．
（1）求證：平面PCE⊥平面PCF；
（2）設(shè)M、N分別為棱PA、EC的中點(diǎn)，求直線MN與平面PAE所成角的正弦；
（3）求二面角A-PE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）證明平面PCE⊥平面PCF，利用面面垂直的判定，證明PE⊥平面PCF即可；
（2）建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，利用向量的夾角公式，即可求解；
（3）求出平面PAE的法向量是

PF

，平面PEC的法向量，利用cos＜

n

，

PF

＞=-

2

2

．即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵PE=PF=1，EF=

2

，∴PE⊥PF
∵PE⊥PC，PC∩PF=P
∴PE⊥平面PCF
∵PE?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCF；（4分）
（2）如圖，建立坐標(biāo)系，則A(

2

2

，-1，0) 、E(

2

2

，0，0)、 N(0，

1

2

，0) 、P(0，0，

2

2

)、C(-

2

2

，1，0)、F(-

2

2

，0，0) 、M(

2

4

，-

1

2

，

2

4

)

PF

=(-

2

2

，0-

2

2

，)，

MN

=(-

2

4

，1，-

2

4

，)
平面PAE的法向量是

PF

，設(shè)MN與平面PAE 所成的角為θ
∴sinθ=|cos＜

MN

，

PF

＞|=

MN • PF

| MN |•| PF |

=

5

5

（9分）
（3）平面PAE的法向量是

PF

，設(shè)平面PEC的法向量

n

=(x，y，z)
∴

n

•

EC

=0，

n

•

PE

=0，則

- 2 x+y=0 x-z=0

所以 

n

=(1，

2

，1)
所以cos＜

n

，

PF

＞=-

2

2

所以二面角A-PE-C的大小為135°（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面角，面面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用面面垂直的判定，正確建立坐標(biāo)系，利用向量的方法解決立體幾何問題．