Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log2（2x+1）﹣ ．
（1）證明：對(duì)任意的b∈R，函數(shù)f（x）=log2（2x+1）﹣ 的圖象與直線y= +b最多有一個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log4（a﹣2x），若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象至少有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：原問(wèn)題等價(jià)于log2（2x+1）﹣ = +b解的討論．

因?yàn)?x+1=2x+b，即2x（2b﹣1）=1．

當(dāng)b≤0時(shí)，方程無(wú)解，即兩圖象無(wú)交點(diǎn)；

當(dāng)b＞0時(shí)，方程有一解，即兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，得證

（2）解：函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象至少有一個(gè)交點(diǎn)，

等價(jià)于方程log2（2x+1）﹣ =log4（a﹣2x）至少有一個(gè)解，

即（2x+1）2=2x（a﹣2x）．

設(shè)u=2x＞0，即方程2u2+（2﹣a）u+1=0至少有一個(gè)正解．

①當(dāng)△=（2﹣a）2﹣8=0時(shí)，即a=2±2 ，

∵a＞2x＞0，

∴a=2﹣2 不符合題意，

當(dāng)a=2+2 時(shí)，方程有一個(gè)正解，符合題意．

②當(dāng) 時(shí)，即a＞2+2 ，此時(shí)方程有兩個(gè)不同的正解．

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2+2 ，+∞）

【解析】（1）問(wèn)題等價(jià)于log2（2x+1）﹣ = +b解的討論，通過(guò)討論b的范圍，證明即可；（2）等價(jià)于方程log2（2x+1）﹣ =log4（a﹣2x）至少有一個(gè)解，即（2x+1）2=2x（a﹣2x），通過(guò)討論判別式△，求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”．