【題目】已知函數(shù)
(1)若,證明;
(2)若,求的取值范圍;并證明此時的極值存在且與無關.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】試題分析:
(1)利用題意求解導函數(shù),求解 得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,求解 得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,由 可以得出結論;
(2)將 變形為,構造函數(shù)結合函數(shù)的性質(zhì)即可求得實數(shù) 的取值范圍;分類討論 和兩種情況即可證明此時的極值存在且與無關.
試題解析:
(1)若
當單調(diào)遞減;當單調(diào)遞增
所以,得證
(1)若,變形得到,
令,得到
,令,可得在單增,在單減,所以,
在單減,當所以,∴
(注:若令),得到
令,
,所以在單減,在單增,所以,
即在單增,當所以,∴
下面再證明的極值存在且與無關:
①,
與無關.
②
(其中)所以且在處取極小值
因為,∴是關于的函數(shù)(與無關),
所以也是關于的函數(shù)(與無關).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了該農(nóng)產(chǎn)品.以()表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量, (單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.
(Ⅰ)將表示為的函數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計利潤不少于57000元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知動直線過點,且與圓交于、兩點.
(1)若直線的斜率為,求的面積;
(2)若直線的斜率為,點是圓上任意一點,求的取值范圍;
(3)是否存在一個定點(不同于點),對于任意不與軸重合的直線,都有平分,若存在,求出定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓 的上、下頂點分別為A,B,點P在橢圓上,且異于點A,B,直線AP,BP與直線 分別交于點M,N,
(1)設直線AP,BP的斜率分別為 ,求證: 為定值;
(2)求線段MN的長的最小值;
(3)當點P運動時,以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點?請證明你的結論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的頂點A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x﹣2y﹣5=0.求:
(1)頂點C的坐標;
(2)直線BC的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2, .M,N分別為BC和CC1的中點,P為側棱BB1上的動點.
(1)求證:平面APM⊥平面BB1C1C;
(2)若P為線段BB1的中點,求證:A1N∥平面APM;
(3)試判斷直線BC1與平面APM是否能夠垂直.若能垂直,求PB的值;若不能垂直,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,若acosA﹣bcosB=0,則三角形的形狀是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】京劇是我國的國粹,是“國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”,某機構在網(wǎng)絡上調(diào)查發(fā)現(xiàn)各地京劇票友的年齡服從正態(tài)分布同時隨機抽取位參與某電視臺《我愛京劇》節(jié)目的票友的年齡作為樣本進行分析研究(全部票友的年齡都在內(nèi)),樣本數(shù)據(jù)分別區(qū)間為由此得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ) 若求的值;
(Ⅱ)現(xiàn)從樣本年齡在的票友中組織了一次有關京劇知識的問答,每人回答一個問題,答對贏得一臺老年戲曲演唱機,答錯沒有獎品,假設每人答對的概率均為,且每個人回答正確與否相互之間沒有影響,用表示票友們贏得老年戲曲演唱機的臺數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面, , , 為線段上的點,
(1)證明: 平面;
(2)若是的中點,求與平面所成的角的正切值;
(3)若滿足面,求的值.
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