【題目】如圖所示,在三棱錐S﹣ABC中,SO⊥平面ABC,側(cè)面SAB與SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC的中點(diǎn),求二面角A﹣SC﹣B的余弦值.
【答案】解:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OB,OA,OS分別為x軸、y軸、z軸的正半軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
設(shè)B(1,0,0),則C(﹣1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1),SC的中點(diǎn)M(﹣ .0, ),
故 =(﹣ .0, ), =( ,1,﹣ ) =(﹣1,0,﹣1),
所以 =0, =0.
即MO⊥SC,MA⊥SC.
故< , >為二面角A﹣SC﹣B的平面角.
cos< , >= = .
即二面角A﹣SC﹣B的余弦值為 .
【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OB,OA,OS分別為x軸、y軸、z軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)B(1,0,0),則C(﹣1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1),可得< , >為二面角A﹣SC﹣B的平面角.利用向量求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率).
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將三項(xiàng)式(x2+x+1)n展開,當(dāng)n=0,1,2,3,…時,得到以下等式: (x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
…
觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系,可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形,其構(gòu)造方法為:第0行為1,以下各行每個數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)(不足3數(shù)的,缺少的數(shù)計為0)之和,第k行共有2k+1個數(shù).若在(1+ax)(x2+x+1)5的展開式中,x8項(xiàng)的系數(shù)為67,則實(shí)數(shù)a值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)已知點(diǎn),曲線在點(diǎn) 處的切線與直線交于點(diǎn),求(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時的值,并求出面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(2x+1)﹣ .
(1)證明:對任意的b∈R,函數(shù)f(x)=log2(2x+1)﹣ 的圖象與直線y= +b最多有一個交點(diǎn);
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=log4(a﹣2x),若函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象至少有一個交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列f(x1),f(x2),…f(xn),…是公差為2的等差數(shù)列,且x1=a2其中函數(shù)f(x)=logax(a為常數(shù)且a>0,a≠1).
(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若an=logaxn , 求證 + +…+ <1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在區(qū)間D上,若函數(shù)y=f(x)為增函數(shù),而函數(shù) 為減函數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間D上的“弱增”函數(shù).則下列函數(shù)中,在區(qū)間[1,2]上不是“弱增”函數(shù)的為( )
A.
B.
C.g(x)=x2+1
D.g(x)=x2+4
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