【題目】已知點(diǎn)A是拋物線M:y2=2px(p>0)與圓C:x2+(y﹣4)2=a2在第一象限的公共點(diǎn),且點(diǎn)A到拋物線M焦點(diǎn)F的距離為a,若拋物線M上一動點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則直線OA被圓C所截得的弦長為( )
A.2
B.2
C.
D.

【答案】C
【解析】解:圓C:x2+(y﹣4)2=a2的圓心C(0,4),半徑為a,
|AC|+|AF|=2a,
由拋物線M上一動點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a,
由拋物線的定義可得動點(diǎn)到焦點(diǎn)與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a,
可得A,C,F(xiàn)三點(diǎn)共線時取得最小值,且有A為CF的中點(diǎn),
由C(0,4),F(xiàn)( ,0),可得A( ,2),
代入拋物線的方程可得,4=2p ,解得p=2 ,
即有a= + = ,A( ,2),
可得C到直線OA:y=2 x的距離為d= = ,
可得直線OA被圓C所截得的弦長為2 =
故選:C.
求得圓的圓心和半徑,運(yùn)用拋物線的定義可得A,C,F(xiàn)三點(diǎn)共線時取得最小值,且有A為CF的中點(diǎn),設(shè)出A,C,F(xiàn)的坐標(biāo),代入拋物線的方程可得p,由拋物線的定義可得a,求得C到直線OA的距離,運(yùn)用圓的弦長公式計(jì)算即可得到所求值.

練習(xí)冊系列答案
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B.61
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D.272017

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