【題目】已知函數(shù),.
(1)求在點處的切線;
(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,并求出極值;
(3)求證:.
【答案】(1); (2)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;極小值為,無極大值. (3)見解析.
【解析】
(1)對求導(dǎo)得,,切線方程為. (2)由,得,令得增區(qū)間,研究單調(diào)性和極值.
(3)欲證,即證明,即證:,令,,研究的單調(diào)性,證明;
研究的單調(diào)性,證明,
兩式相加解得結(jié)果.
解:(1)的定義域為,對求導(dǎo)得,
所以,又,
所以在點處的切線方程為.
(2)由,得.
當(dāng)時,;當(dāng)時,.
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
的極小值為,無極大值.
(3)令,,則
,,且當(dāng)時,;
當(dāng)時,.
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
即①
所以在單調(diào)遞增,所以,
即②
所以①+②得,所以恒成立.
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【題目】如圖,已知點S為正方形ABCD所在平面外一點,△SBC是邊長為2的等邊三角形,點E為線段SB的中點.
(1)證明:SD//平面AEC;
(2)若側(cè)面SBC⊥底面ABCD,求平面ACE與平面SCD所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,點為其左頂點,點的坐標(biāo)為,過點作直線與橢圓交于兩點,當(dāng)垂直于軸時,.
(1)求該橢圓的方程;
(2)設(shè)直線,分別交直線于點,,線段的中點為,設(shè)直線與的斜率分別為,,且,求證:為定值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)點xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=6.
(1)A為曲線C1上的動點,點M在線段OA上,且滿足|OM||OA|=36,求點M的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)點E的極坐標(biāo)為(4,),點F在曲線C2上,求△OEF面積的最大值
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【題目】已知橢圓C:.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)分別為橢圓C的左右頂點,點P在橢圓C上,直線AP,BP分別與直線相交于點M,N.當(dāng)點P運動時,以M,N為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點?試證明你的結(jié)論.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求在點處的切線方程;
(2)當(dāng)時,證明:;
(3)判斷曲線與是否存在公切線,若存在,說明有幾條,若不存在,說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,將曲線繞極點順時針旋轉(zhuǎn)后得到曲線的曲線記為.
(1)求曲線和的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)和的交點為,,求的長度.
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