(本題12分)如圖,在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,

AD⊥AB,AB=。AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點,F(xiàn)是平面B1C1E

與直線AA1的交點。

(1)證明:(i)EF∥A1D1;

(ii)BA1⊥平面B1C1EF;

(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值。

 

【答案】

(1)見解析;(2) BC與平面所成角的正弦值是.

【解析】本試題主要是考查了線線平行的證明,以及線面垂直的證明,以及線面角的求解。

(1)因為在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,

AD⊥AB,AB=。AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點,F(xiàn)是平面B1C1E

與直線AA1的交點。那么可知得到證明。

(2)先證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可。

(3)根據(jù)上一問可知線面垂直,那么利用平面的垂直,得到斜線的射影,進而表示線面角的大小,求解得到。

(1)(i)因為, 平面ADD1 A1,所以平面ADD1 A1.

又因為平面平面ADD1 A1=,所以.所以.   3分

(ⅱ)因為,所以,

又因為,所以,

在矩形中,F(xiàn)是AA的中點,

.

,故.所以平面.      4分

(2) 設(shè)交點為H,連結(jié).

由(1)知,所以與平面所成的角. 在矩形中,,得,在直角中,,,得

,所以BC與平面所成角的正弦值是.    5分

 

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(本題12分)如圖所示,在直四棱柱中, ,點是棱上一點.

(1)求證:;

(2)求證:;

 

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((本題12分)如圖所示,在直四棱柱中, ,點是棱上一點

(1)求證:;

(2)求證:

 

 

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 (Ⅱ)求直線C1C與平面GFC所成角的正弦值;

     (Ⅲ)求二面角E—FC—B的余弦值。

 

 

 

 

 

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