Question

正三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，若AB=a，則該三棱錐的外接球體積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意推出EF⊥平面PAC，即PB⊥平面PAC，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積

解答： 解：∵三棱錐P-ABC正棱錐，
∴PB⊥AC（對棱互相垂直），
∴EF⊥AC
又∵EF⊥CE而CE∩AC=C，
∴EF⊥平面PAC，
即PB⊥平面PAC，
∴∠APB=∠BPC=∠APC=90°，
將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，
設(shè)這個正方體的棱長為x，外接球半徑為R，
∵AB=a，∴

2

x=a，解得x=

2

2

a，
∴2R=

3

x=

6

2

a，R=

6

4

a，
∴該三棱錐的外接球體積：
V=

4

3

πR³=

4

3

π•（

6

4

a）³=

6

8

πa³．
故答案為：

6

8

πa³．

點(diǎn)評：本題考查三棱錐的外接球的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意割補(bǔ)法的合理運(yùn)用．