【題目】已知數(shù)列滿足:,,且(n=1,2,...).記
集合
(1)(Ⅰ)若,寫出集合M的所有元素;
(2)(Ⅱ)若集合M存在一個元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);
(3)(Ⅲ)求集合M的元素個數(shù)的最大值.

【答案】
(1)

{6,12,24}


(2)

證明:(Ⅱ)因為集合M存在一個元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè) ak 是3的倍數(shù),由已知 ,可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意 n ≥ k , an 是3的倍數(shù),當(dāng) k = 1 時,則M中的所有元素都是3的倍數(shù),如果 k > 1 時,因為 ak = 2ak-1 或 2ak-1 -36 ,所以 2ak-1 是3的倍數(shù),于是 ak-1 是3的倍數(shù),類似可得, ak -2 . . . . . . a1 都是3的倍數(shù),從而對任意 n ≥ 1 , an 是3的倍數(shù),因此M的所有元素都是3的倍數(shù).


(3)

8


【解析】(Ⅰ)由已知可知:,因此
(Ⅱ)因為集合M存在一個元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)是3的倍數(shù),由已知,可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意,是3的倍數(shù),當(dāng)時,則M中的所有元素都是3的倍數(shù),如果時,因為,所以是3的倍數(shù),于是是3的倍數(shù),類似可得,都是3的倍數(shù),從而對任意是3的倍數(shù),因此M的所有元素都是3的倍數(shù).
(III )由于M中的元素都不超過36,由,易得,類似可得,其次M中的元素個數(shù)最多除了前面兩個數(shù)外,都是4的倍數(shù),因為第二哥數(shù)必定為偶數(shù),由的定義可知,第三個數(shù)后面的數(shù)必定是4的倍數(shù),另外,M中的數(shù)除以9的余數(shù),由定義可知,除以9的余數(shù)一樣,
(1)若中有3的倍數(shù),由(2)知:所有都是3的倍數(shù),所以都是3的倍數(shù),所以除以9的余數(shù)為3,6,3,6,......,或6,3,6,3......,或0,0,0......,而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12,除以9余6且是4的倍數(shù)只有24,除以9余0且是4的倍數(shù)只有36,則M中的數(shù)從第三項起最多2項,加上前面兩項,最多4項。
(2)若中沒有3的倍數(shù),則都不是3的倍數(shù),對于除以9的余數(shù)只能是1,4,7,2,5,8中的一個,從起,除以9的余數(shù)是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,......,不斷的6項循環(huán)(可能從2,4,8,7或5開始),而除以9的余數(shù)是1,2,4,8,5且是4的倍數(shù)(不大于36),只有28,20,4,8,16,32,所以M中的項加上前兩項最多的8項,則時,,項數(shù)為8,所以集合M的元素個數(shù)的最大值為8.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握

  1. :A.n=1(或成立,推的基礎(chǔ);B.設(shè)n=k成立; C.n=k+1也成立,完成兩步,就可以斷定任何自然數(shù)(n>=,)結(jié)論都成立

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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