Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xex﹣a（lnx+x）．
（1）若函數(shù)f（x）恒有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）若對任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立． ①求實(shí)數(shù)a的值；
②證明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=xex﹣alnx﹣ax，x＞0，則 ．

當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增，故不可能存在兩個零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）=0有唯一解x=x0，此時(shí) ，則 ．

注意到 ，因此

（2）解：①當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）的值域?yàn)镽，不符合題意；

當(dāng)a=0時(shí)，則 ，也不符合題意．

當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．

令 ，上式即轉(zhuǎn)化為lnt≥t﹣1，

設(shè)h（t）=lnt﹣t+1，則 ，因此h（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，

在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而h（x）max=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．

因此，lnt=t﹣1t=1，從而有 ．

故滿足條件的實(shí)數(shù)為a=1．

②證明：由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需證明：x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．

注意到前面已經(jīng)證明：x﹣1≥lnx，因此只需證明：x2﹣x+2＞2sinx．

當(dāng)x＞1時(shí)，恒有2sinx≤2＜x2﹣x+2，且等號不能同時(shí)成立；

當(dāng)0＜x≤1時(shí)，設(shè)g（x）=x2﹣x+2﹣2sinx，則g'（x）=2x﹣1﹣2cosx，

當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，g'（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，且 ，

因而x∈（0，1]時(shí)恒有g(shù)'（x）＜0；從而x∈（0，1]時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，

從而g（x）≥g（1）=2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sinx．

故x2ex＞（x+2）lnx+2sinx

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），對a分類討論，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增，舍去．當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）=0有唯一解x=x0 ， 此時(shí) ，求出極值，進(jìn)而得出答案．（2）①當(dāng)a≤0時(shí)，不符合題意．當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令 ，上式即轉(zhuǎn)化為lnt≥t﹣1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．②由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需證明：x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已經(jīng)證明：x﹣1≥lnx，因此只需證明：x2﹣x+2＞2sinx．對x分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．