【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率 ,且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)重合.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)S( ,0)的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng),以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T,若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:設(shè)橢圓的方程為 ,離心率 , ,拋物線 的焦點(diǎn)為(0,1),所以 ,橢圓C的方程是x2+ =1
(2)解:若直線l與x軸重合,則以AB為直徑的圓是x2+y2=1,若直線l垂直于x軸,則以AB為直徑的圓是(x+ )2+y2= .
由 解得 即兩圓相切于點(diǎn)(1,0).
因此所求的點(diǎn)T如果存在,只能是(1,0).
事實(shí)上,點(diǎn)T(1,0)就是所求的點(diǎn).證明如下:
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T(1,0).
若直線l不垂直于x軸,可設(shè)直線l:y=k(x+ ).
由 即(k2+2)x2+ k2x+ k2﹣2=0.
記點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則
又因?yàn)? =(x1﹣1,y1), =(x2﹣1,y2), =(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=(x1﹣1)(x2﹣1)+k2(x1+ )(x2+ )
=(k2+1)x1x2+( k2﹣1)(x1+x2)+ k2+1
=(k2+1) +( k2﹣1) + +1=0,
所以TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T(1,0).
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1,0)滿足條件
【解析】(1)先設(shè)處橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)離心率求的a和c的關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得c,進(jìn)而求得a,則b可得,進(jìn)而求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線l與x軸重合,則以AB為直徑的圓是x2+y2=1,若直線l垂直于x軸,則以AB為直徑的圓是(x+ )2+y2= .聯(lián)立兩個(gè)圓的方程求得其交點(diǎn)的坐標(biāo),推斷兩圓相切,進(jìn)而可判斷因此所求的點(diǎn)T如果存在,只能是這個(gè)切點(diǎn).證明時(shí)先看直線l垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T(1,0).再看直線l不垂直于x軸,可設(shè)出直線方程,與圓方程聯(lián)立消去y,記點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),根據(jù)偉大定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式,代入 的表達(dá)式中,求得 =0,進(jìn)而推斷TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T(1,0).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有一塊矩形空地,要在這塊空地上辟一個(gè)內(nèi)接四邊形為綠地,使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上,已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,設(shè)AE=x,綠地面積為y.
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出這個(gè)函數(shù)的定義域.
(2)當(dāng)AE為何值時(shí),綠地面積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (a>0,a≠1).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性;
(3)求a的取值范圍,使f(x)+f(2x)>0在其定義域上恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公比為q,它的前n項(xiàng)和為Sn;
(1)若S3=3,S6=﹣21,求公比q;
(2)若q>0,且Tn=a1+a3+…+a2n﹣1 , 求 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD,EF∥BD,EF=DE= BD,BD=BC=CD= AB= AD=2,DE⊥BC.
(1)求證:DE⊥平面ABCD;
(2)求平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列
(1)在等差數(shù)列{an}中,a6=10,S5=5,求該數(shù)列的第8項(xiàng)a8;
(2)在等比數(shù)列{bn}中,b1+b3=10,b4+b6= ,求該數(shù)列的前5項(xiàng)和S5 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0,若直線y=kx+2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最小值是( 。
A.-
B.-
C.-
D.-
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【南通市、泰州市2017屆高三第一次調(diào)研測(cè)試】(本題滿分14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P為橢圓上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作OP的垂線交直線
于點(diǎn)Q,求的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】要得到y(tǒng)=sin(﹣2x+ )的圖象,只需將y=sin(﹣2x)的圖象( )
A.向左平移 個(gè)單位
B.向右平移 個(gè)單位
C.向左平移 個(gè)單位
D.向右平移 個(gè)單位
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