Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{e^x}$．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程和函數(shù)f（x）的極值：
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈[a，+∞），都有f（x₁）-f（x₂）≥-$\frac{1}{e^2}$成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線方程；求得單調(diào)區(qū)間，可得極值；
（2）對(duì)a討論，若a＜1，若a≥1，討論f（x₁）-f（x₂）的最值或范圍，即可得到所求a的最小值．

解答 解：（1）因?yàn)?f'（x）=\frac{x-2}{e^x}$，所以f'（0）=-2，
因?yàn)閒（0）=1，
所以曲線f（x）在（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0…（3分）
由$f'（x）=\frac{x-2}{e^x}$解得x=2，則f'（x）及f（x）的變化情況如下：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值$-\frac{1}{e^2}$	遞增

所以函數(shù)f（x）在x=2時(shí)，取得極小值$-\frac{1}{e^2}$…（6分）
（2）由題設(shè)知：當(dāng)x＞1時(shí)，$f（x）=\frac{1-x}{e^x}＜0$，當(dāng)x＜1時(shí)，$f（x）=\frac{1-x}{e^x}＞0$，
若a＜1，令x₁=2，x₂∈[a，1），則x₁，x₂∈[a，+∞），
由于$f（{x_2}）＞0?-f（{x_2}）＜0?f（{x_1}）-f（{x_2}）＜f（{x_1}）=f（2）=-\frac{1}{e^2}$，顯然不符合題設(shè)要求…（9分）
若a≥1，對(duì)?x₁，x₂∈[a，+∞），f（x₁）≤0，f（x₂）≤0，
由于$f（{x_2}）≤0?-f（{x_2}）≥0?f（{x_1}）-f（{x_2}）≥f（{x_1}）≥f（2）=-\frac{1}{e^2}$，
顯然，當(dāng)a≥1，對(duì)?x₁，x₂∈[a，+∞），不等式$f（{x_1}）-f（{x_2}）≥-\frac{1}{e^2}$恒成立，
綜上可知，a的最小值為1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查不等式的恒成立問題的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．